Valori di un parametro per cui una retta è tangente a una parabola

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Valori di un parametro per cui una retta è tangente a una parabola #101279

avt
angel12
Punto
Chiedo il vostro aiuto per risolvere un esercizio di Geometria Analitica con più punti, tra cui uno che chiede di trovare il valore di un parametro per cui una retta e una parabola sono tangenti.

Sia data la parabola

y=-x^2+4x-1

e la retta di equazione

2x-y+k=0

a) Determinare per quale valore di k la retta risulta tangente alla parabola.

b) Determinare i punti di intersezione, A e B, della parabola con la retta ottenuta ponendo k = -1 .

c) Calcolare la distanza tra i punti A e B.
 
 

Valori di un parametro per cui una retta è tangente a una parabola #101284

avt
Galois
Amministratore
Sono note le equazioni di una parabola

y=-x^2+4x-1

e l'equazione di un fascio improprio di rette, ossia l'equazione di una retta con termine noto variabile

2x-y+k=0

e viene chiesto di:

a) determinare per quale valore di k la retta risulta tangente alla parabola.

b) Determinare i punti di intersezione, A e B, della parabola con la retta ottenuta ponendo k = -1 .

c) Calcolare la distanza tra i punti A e B.

Procediamo con ordine e risolviamo i tre punti uno per volta.


Valore di k per cui retta e parabola sono tangenti

Dallo studio delle posizioni reciproche tra retta e parabola è noto che una retta e una parabola sono tangenti se e solo se hanno un unico punto di intersezione.

Mattiamo allora a sistema le due equazioni

\begin{cases}y=-x^2+4x-1 \\ 2x-y+k=0\end{cases}

Ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima

\begin{cases}2x+k=-x^2+4x-1 \\ y=2x+k\end{cases} \ \to \ \begin{cases}x^2-2x+k+1=0 \\ y=2x+k\end{cases}

Retta e parabola hanno un solo punto di intersezione se e solo se il sistema ammette un'unica soluzione. Ciò accade per tutti e soli i valori di k per cui l'equazione di secondo

x^2-2x+k+1=0

ha discriminante nullo, ossia ha due soluzioni reali e coincidenti.

Il discriminante associato alla precedente equazione è

\Delta = b^2-4ac

dove

a=1 \ \ ; \ \ b=-2 \ \ ; \ \ c=k+1

per cui

\\ \Delta = b^2-4ac =(-2)^4 - 4 \cdot 1 \cdot (k+1) = \\ \\ = 4-4k-4 = -4k

di conseguenza

\Delta = 0 \iff -4k=0 \iff k=0

In definitiva, retta e parabola sono tangenti per k=0.


Punti di intersezione tra retta e parabola per k=-1

Quando k=-1 l'equazione della retta è

2x-y-1=0

e i suoi punti A e B di intersezione con la parabola sono le soluzioni del sistema

\begin{cases}y=-x^2+4x-1 \\ 2x-y-1=0\end{cases}

Come prima, ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima

\begin{cases}2x-1=-x^2+4x-1 \\ y=2x-1\end{cases} \ \to \ \begin{cases}x^2-2x=0 \\ y=2x-1\end{cases}

Risolviamo l'equazione di secondo grado. Raccogliamo x a fattor comune

x^2-2x=0 \ \ \to \ \ x(x-2)=0

e applichiamo la legge di annullamento del prodotto, così da ottenere

x_1=0 \ \ ; \ \ x_2=2

Le ascisse dei punti di intersezione sono

x_A=0 \ \ ; \ \ x_B=2

Ricaviamone le ordinate sostituendo le ascisse nell'equazione della retta

x_A=0 \ \ \to \ \ y_A=2x_A-1=-1 \\ \\ x_B=2 \ \to \ y_B=2x_B-1=4-1=3

In definitiva i punti di intersezione sono

A(0,-1) \ \ ; \ \ B(2,3)


Distanza tra i punti A e B

Per concludere calcoliamo la distanza tra i punti A e B

\\ d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} = \\ \\ = \sqrt{(2-0)^2+(3-(-1))^2} = \\ \\ = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

È fatta!
Ringraziano: angel12
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Os