Disequazione con logaritmi e valore assoluto

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Disequazione con logaritmi e valore assoluto #101089

avt
xxautod
Punto
Buongiorno,

ho questa disequazione logaritmica con valore assoluto che ho difficoltà a risolvere correttamente

\log_{\frac{1}{2}} \left [\frac{|x-2|}{x}\right ]<-1+\log_2 x

Grazie e saluti.
 
 

Re: Disequazione con logaritmi e valore assoluto #101091

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere la disequazione logaritmica

\log_{\frac{1}{2}}\left[\frac{|x-2|}{x}\right]<-1+\log_{2}(x)

occorre innanzitutto imporre le condizioni di esistenza: gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi.

C.E.:\ \frac{|x-2|}{x}>0 \ \wedge \ x>0

I due vincoli devono valere contemporaneamente, per cui costituiscono il sistema di disequazioni

\begin{cases}\dfrac{|x-2|}{x}>0\\ \\ x>0\end{cases}

Per definizione di valore assoluto, l'espressione |x-2| è positiva per ogni x\ne 2, di conseguenza la relazione

\frac{|x-2|}{x}>0

è soddisfatta nel momento in cui il denominatore è positivo, vale a dire:

x>0

Ciò ci permette di affermare che il sistema ammette come insieme soluzione

C.E.:\ x>0

Il primo passaggio algebrico per calcolare le eventuali soluzioni della disequazione prevede di scrivere i logaritmi nella medesima base: useremo pertanto la formula di cambiamento di base per il logaritmo.

\log_{a}(b)=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}

valida per a>0,\, a\ne 1,\, c>0,c\ne 1,\, b>0.

Trasformiamo \log_{2}(x) in base \frac{1}{2}

\log_{2}(x)=\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x)}{\log_{\frac{1}{2}}(2)}

Le proprietà dei logaritmi, in combinazione con le proprietà delle potenze, consentono di scrivere i seguenti passaggi:

\log_{\frac{1}{2}}(2)=\log_{\frac{1}{2}}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\right]=-1

pertanto

\log_{2}(x)=-\log_{\frac{1}{2}}(x) \ \ \ \forall x>0

Grazie a queste osservazioni, la disequazione

\log_{\frac{1}{2}}\left[\frac{|x-2|}{x}\right]<-1+\log_{2}(x)

diventa

\log_{\frac{1}{2}}\left[\frac{|x-2|}{x}\right]<-1-\log_{\frac{1}{2}}(x)

Poiché il logaritmo del quoziente coincide con la differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore, la disequazione è equivalente alla seguente

\log_{\frac{1}{2}}(|x-2|)-\log_{\frac{1}{2}}(x)<-1-\log_{\frac{1}{2}}(x)

Cancelliamo \log_{\frac{1}{2}}(x) [sono uguali in membri diversi] così da ricondurci alla disequazione logaritmica elementare

\log_{\frac{1}{2}}(|x-2|)<-1

Applichiamo a questo punto la funzione esponenziale in base \frac{1}{2} ai due membri, stando attenti al fatto che la base è compresa tra zero e uno (esclusi) e quindi dobbiamo invertire il verso della disuguaglianza

\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}(|x-2|)}>\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}

Il logaritmo si semplifica con l'esponenziale, mentre \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} coincide con 2 per la definizione di potenza con esponente negativo, per cui:

|x-2|>2

Ci siamo ricondotti a una disequazione con valore assoluto che si presenta nella forma

|A(x)|>\mbox{numero positivo}

che si spezza nelle seguenti

A(x)<-\mbox{numero positivo} \ \ \vee \ \ A(x)>\mbox{numero positivo}

Ciò significa che la relazione

|x-2|>2

si spezza in

x-2<-2\ \ \vee \ \ x-2>2

da cui

x<0\ \ \vee \ \ x>4

Abbiamo praticamente concluso: tenendo a mente che la disequazione di partenza è ben posta nel momento in cui x>0, il suo insieme soluzione è

\mathrm{S}:\ x>4

È fatta!
Ringraziano: Omega, xxautod

Re: Disequazione con logaritmi e valore assoluto #101093

avt
xxautod
Punto
In alternativa, si poteva fare il cambiamento di base da \log_{\frac{1}{2}} a \log_2? O diventava tutto più complicato?

Re: Disequazione con logaritmi e valore assoluto #101094

avt
Ifrit
Amministratore
Nono, è possibile passare dal logaritmo in base \frac{1}{2} in logaritmo in base due

\log_{\frac{1}{2}}\left[\frac{|x-2|}{x}\right]=\frac{\log_{2}\left[\frac{|x-2|}{x}\right]}{\log_{2}\left(\frac{1}{2}\right)}=-\log_{2}\left[\frac{|x-2|}{x}\right]

In questo modo la disequazione di partenza diventa

\\ -\log_{2}\left[\frac{|x-2|}{x}\right]<-1+\log_{2}(x) \\ \\  -\left(\log_{2}(|x-2|)-\log_2(x)\right)<-1+\log_{2}(x)\\ \\ -\log_{2}(|x-2|)+\log_{2}(x)<-1+\log_2(x)\\ \\ \log_{2}(|x-2|)>1

da cui, applicando l'esponenziale in base due ai due membri (in questo caso non si cambiano i versi perché stiamo lavorando con una funzione esponenziale con base maggiore di 1) otteniamo la disequazione:

|x-2|>2

Da qui possiamo procedere come ho fatto prima.

In ogni caso lavorare con l'una o l'altra base è del tutto equivalente, l'importante è svolgere correttamente i passaggi algebrici e attenersi alle regole per risolvere le disequazioni. emt
Ringraziano: Omega, xxautod
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Os