Disequazione con logaritmi e valore assoluto

Buongiorno,

ho questa disequazione logaritmica con valore assoluto che ho difficoltà a risolvere correttamente



Grazie e saluti.

Per risolvere la disequazione logaritmica



occorre innanzitutto imporre le condizioni di esistenza: gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi.



I due vincoli devono valere contemporaneamente, per cui costituiscono il sistema di disequazioni



Per definizione di valore assoluto, l'espressione è positiva per ogni , di conseguenza la relazione



è soddisfatta nel momento in cui il denominatore è positivo, vale a dire:



Ciò ci permette di affermare che il sistema ammette come insieme soluzione



Il primo passaggio algebrico per calcolare le eventuali soluzioni della disequazione prevede di scrivere i logaritmi nella medesima base: useremo pertanto la formula di cambiamento di base per il logaritmo.



valida per

Trasformiamo in base



Le proprietà dei logaritmi, in combinazione con le proprietà delle potenze, consentono di scrivere i seguenti passaggi:



pertanto



Grazie a queste osservazioni, la disequazione



diventa



Poiché il logaritmo del quoziente coincide con la differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore, la disequazione è equivalente alla seguente



Cancelliamo [sono uguali in membri diversi] così da ricondurci alla disequazione logaritmica elementare



Applichiamo a questo punto la funzione esponenziale in base ai due membri, stando attenti al fatto che la base è compresa tra zero e uno (esclusi) e quindi dobbiamo invertire il verso della disuguaglianza



Il logaritmo si semplifica con l'esponenziale, mentre coincide con per la definizione di potenza con esponente negativo, per cui:



Ci siamo ricondotti a una disequazione con valore assoluto che si presenta nella forma



che si spezza nelle seguenti



Ciò significa che la relazione



si spezza in



da cui



Abbiamo praticamente concluso: tenendo a mente che la disequazione di partenza è ben posta nel momento in cui , il suo insieme soluzione è



È fatta!

In alternativa, si poteva fare il cambiamento di base da a ? O diventava tutto più complicato?

Nono, è possibile passare dal logaritmo in base in logaritmo in base due



In questo modo la disequazione di partenza diventa



da cui, applicando l'esponenziale in base due ai due membri (in questo caso non si cambiano i versi perché stiamo lavorando con una funzione esponenziale con base maggiore di 1) otteniamo la disequazione:



Da qui possiamo procedere come ho fatto prima.

In ogni caso lavorare con l'una o l'altra base è del tutto equivalente, l'importante è svolgere correttamente i passaggi algebrici e attenersi alle regole per risolvere le disequazioni.