Funzione a tratti: derivabilità e continuità della funzione integrale

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Funzione a tratti: derivabilità e continuità della funzione integrale #101069

avt
Vito.993
Punto
In questo esercizio dovrei stabilire se una funzione definita per casi è derivabile sul dominio e se la funzione integrale associata è continua.

Stabilire se la funzione f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definita da:

f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)&\mbox{se}\ x\ \ne 0\\ \\ 0&\mbox{se} \ x=0\end{cases}

è derivabile ed inoltre se la sua relativa funzione integrale

F(x):= \int_{0}^{x}f(t)\mbox{d}t

è continua.
 
 

Funzione a tratti: derivabilità e continuità della funzione integrale #101074

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio si compone di più richieste: dobbiamo dimostrare la derivabilità di una funzione definita per casi e stabilire se la funzione integrale associata sia continua.

Derivabilità della funzione

Consideriamo la funzione definita per casi

f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)&\mbox{se} \ x\ne 0\\ \\ 0&\mbox{se} \ x=0\end{cases}

Per x\ne 0, la legge cui dobbiamo fare riferimento è

f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)

la quale è certamente una funzione derivabile perché composizione di funzioni derivabili, pertanto l'unico punto in cui abbiamo dei dubbi è il punto di raccordo x_0=0.

Per stabilire se la funzione è derivabile nel punto dobbiamo dimostrare che esiste ed è finito il limite per h\to 0 del rapporto incrementale centrato in x_0=0, ossia dobbiamo dimostrare che esiste ed è finito il limite

\\ \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=

dove f(h)=h^2\sin\left(\frac{1}{h}\right), mentre f(0)=0.

=\lim_{h\to 0}\frac{h^2\sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}h\sin\left(\frac{1}{h}\right)

Per calcolare l'ultimo limite, useremo il teorema del confronto- detto anche teorema dei carabinieri.

Grazie alla disuguaglianza notevole della funzione seno, possiamo scrivere la seguente

\left|\sin\left(\frac{1}{h}\right)\right|\le 1\ \ \ \forall h\in\mathbb{R}-\{0\}

la quale giustifica a sua volta la relazione:

\left|h\sin\left(\frac{1}{h}\right)\right|=|h|\cdot\overbrace{\left|\sin\left(\frac{1}{h}\right)\right|}^{\le 1}\le |h|

In virtù delle proprietà di cui gode il valore assoluto, la precedente disuguaglianze si scrive in maniera equivalente come:

-|h|\le h\sin\left(\frac{1}{h}\right)\le |h| \ \ \ \forall h\in\mathbb{R}

Applicando ai tre membri il limite per h\to 0 otteniamo

\lim_{h\to 0}-|h|\le \lim_{h\to 0}h\sin\left(\frac{1}{h}\right)\le\lim_{h\to 0}|h|

Poiché il primo e il terzo limite sono nulli, anche il secondo deve esserlo, pertanto

\lim_{h\to 0}h\sin\left(\frac{1}{h}\right)=0

Ciò dimostra che il limite del rapporto incrementale esiste, è finito e vale zero, pertanto la funzione è derivabile anche in x_0=0.


Continuità della funzione integrale

Il secondo punto del problema ci chiede di dimostrare la continuità della funzione integrale

F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\mbox{d}t

nell'insieme dei numeri reali.

La risposta a questa richiesta risiede essenzialmente nel teorema fondamentale del calcolo integrale.

Poiché f(t) è una funzione derivabile nel suo dominio, essa è necessariamente continua per ogni t\in\mathbb{R} e in quanto tale è anche una funzione integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato [0,x] per ogni x\in\mathbb{R}.

Tutte le ipotesi del teorema fondamentale del calcolo integrale sono soddisfatte, pertanto possiamo concludere che:

F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt

è una funzione continua per ogni x\in\mathbb{R}.
Ringraziano: Omega
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Os