Serie a segni alterni con arcoseno e logaritmo

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Serie a segni alterni con arcoseno e logaritmo #101067

avt
Vito.993
Punto
Ho avuto dei problemi nella risoluzione della seguente serie a segni alterni con argomento fratto, arcoseno e logaritmo.

Stabilire la convergenza della seguente serie numerica

\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}

Grazie dell'attenzione.

Vito.
 
 

Serie a segni alterni con arcoseno e logaritmo #101073

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di studiare il comportamento della serie

\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}

ma prima è opportuno esaminare la tipologia cui essa appartiene.


Classificazione della serie

Indichiamo con a_n il termine generale

a_n=(-1)^n\frac{\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}

il quale si presenta nella forma

a_n=(-1)^n b_n

con

b_{n}=\frac{\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}

Se riusciamo a dimostrare che b_n è a segno costante (sempre positiva oppure sempre negativa), allora siamo in presenza di una serie a segni alterni.

Innanzitutto osserviamo che il denominatore è certamente positivo per ogni n\in\mathbb{N}-\{0\}, infatti l'argomento del logaritmo è maggiore di 1.

Poiché

1+\frac{1}{n^2}>1\ \ \ \forall n\in\mathbb{N}-\{0\}

allora

\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)>0\ \ \ \forall n\in\mathbb{N}-\{0\}

Per mostrare la positività del numeratore dobbiamo lavorare un po' di più.

Partiamo dalla disuguaglianza notevole che riguarda la funzione seno: essendo limitata inferiormente da -1 possiamo scrivere la disuguaglianza

-1\le\sin\left(\frac{1}{n^5}\right) \ \ \ \forall n\in\mathbb{N}-\{0\}

Se aggiungiamo ai due membri 1, il verso della disuguaglianza si preserva

0\le 1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right) \ \ \ \forall n\in\mathbb{N}-\{0\}

Applicando infine ai due membri la funzione arcoseno e sfruttando il fatto che è una funzione strettamente crescente, otteniamo la disuguaglianza

0=\arcsin(0)\le\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)\ \ \ \forall n\in\mathbb{N}-\{0\}

Ciò dimostra che b_n è certamente positivo per ogni n\in\mathbb{N}-\{0\}, in quanto rapporto tra quantità positive, pertanto possiamo affermare che

\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}

è una serie a segni alterni.


Studio del carattere della serie

Quando siamo in presenza di una serie alterni, esistono essenzialmente due metodi che ci permettono di studiarne il carattere:

- il criterio di Leibniz, inapplicabile in questo caso perché l'espressione del termine generale è troppo complicata.

- il criterio di convergenza assoluta, secondo cui una serie a segno variabile converge assolutamente, allora converge anche semplicemente. In altri termini:

se la serie dei valori assoluti

\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|

converge allora converge anche la serie

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

Scriviamo quindi la serie dei valori assoluti

\\ \sum_{n=1}^{+\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{+\infty}\left|(-1)^n\frac{\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}\right|= \\ \\ \\ =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}

Studiamo quindi la serie a termini positivi

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}

Se riusciamo a dimostrare che è convergente, allora convergerà anche la serie di partenza. Quale metodo scegliere? Data l'espressione del termine generale, l'unico metodo che ci permetterà di concludere l'esercizio è proprio il criterio del confronto asintotico.

Per poterlo utilizzare ci avvarremo delle seguenti equivalenze asintotiche notevoli.

Se \alpha_n è una successione che tende a zero, allora valgono le seguenti relazioni:

\\ (1)\ \ \ \arcsin(\alpha_n)\sim\alpha_n \\ \\ (2)\ \ \ \ (1+\alpha_n)^{\beta}-1\sim \beta\, \alpha_n\\ \\ (3)\ \ \ \sin(\alpha_n)\sim\alpha_n\\ \\ (4) \ \ \ \ln\left(1+\alpha_n\right)\sim \alpha_n

Iniziamo dal denominatore che per la relazione asintotica (4) soddisfa la seguente:

\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\sim\frac{1}{n^2}

Per quanto concerne il numeratore, osservato che l'argomento dell'arcoseno è infinitesimo, per la relazione (1) vale:

\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)\sim \sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1

Per la relazione (2) vale invece

\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\sim\frac{1}{3}\cdot\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)

inoltre per la relazione notevole (3) si ha:

\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)\sim\frac{1}{n^5}

pertanto

\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)\sim \frac{1}{3n^5}

Note le stime asintotiche del numeratore e del denominatore, possiamo scrivere la seguente

\frac{\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}\sim\frac{\frac{1}{3n^5}}{\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{3n^3}

In virtù del criterio di convergenza asintotica la serie

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}

ha il medesimo comportamento di

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{3n^3}=\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}

la quale è a meno del fattore moltiplicativo \frac{1}{3} una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1 e in quanto tale convergente.

Poiché la serie armonica converge, allora converge anche

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}

che a sua volta garantisce la convergenza della serie di partenza.

\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\arcsin\left(\sqrt[3]{1+\sin\left(\frac{1}{n^5}\right)}-1\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}

È fatta!
Ringraziano: Omega, Vito.993
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Os