Disequazione logaritmica con moduli annidati

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Disequazione logaritmica con moduli annidati #101051

avt
xxautod
Punto
Propongo questa disequazione logaritmica e chiedo come e in quali modi la si può risolvere.

|\log_2|2x+4||-2>0

Grazie e saluti.
 
 

Re: Disequazione logaritmica con moduli annidati #101054

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere la disequazione con valore assoluto

|\log_{2}(|2x+4|)|-2>0

occorre innanzitutto innanzitutto imporre le condizioni di esistenza. Affinché la disequazione sia ben posta, l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero.

C.E.:\ |2x+4|>0

Studiamo la disequazione che definisce le condizioni di esistenza avvalendoci di una proprietà del valore assoluto secondo cui:

- il valore assoluto dell'argomento è sempre positivo, ad eccezione dei punti che rendono nullo l'argomento.

Questa caratteristica del valore assoluto garantisce la seguente equivalenza

|2x+4|>0\ \iff \ 2x+4\ne 0

da cui

2x=-4 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -2

La disequazione è ben posta su tutto l'insieme dei numeri reali, ad eccezione del punto -2

C.E.:\ \mathbb{R}-\{-2\}=(-\infty,-2)\cup (-2,+\infty)

Dopo aver determinato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci della disequazione. Il primo passo prevede di isolare il valore assoluto al primo membro

|\log_{2}(|2x+4|)|>2

riconducendoci così a una disequazione nella forma

|A(x)|>\mbox{numero positivo}

la quale si spezza nelle equazioni elementari

A(x)<-\mbox{numero positivo} \ \vee \ A(x)>\mbox{numero positivo}

Attenendoci a questa regola, la disequazione

|\log_{2}(|2x+4|)|>2

si spezza nelle seguenti

\log_{2}(|2x+4|)<-2 \ \ \vee \ \ \log_{2}(|2x+4|)>2

che risolveremo singolarmente, dopodiché ne uniremo gli insiemi soluzione.

Consideriamo la disequazione logaritmica

\log_{2}(|2x+4|)<-2

e sbarazziamoci del logaritmo in base due applicando ai due membri l'esponenziale in base due.

Attenzione: poiché la base è maggiore di uno, questo passaggio preserva il verso della disuguaglianza. Se la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1 (esclusi), il verso va cambiato.

\\ 2^{\log_{2}(|2x+4|)}<2^{-2} \\ \\ |2x+4|<2^{-2}\\ \\ |2x+4|<\frac{1}{4}

A questo punto risolviamo la disequazione con valore assoluto, la quale si presenta nella forma

|A(x)|<\mbox{numero positivo}

ed è equivalente alla doppia disequazione

-\mbox{numero positivo}<A(x)<\mbox{numero positivo}.

Nel nostro caso, la relazione

|2x+4|<\frac{1}{4}

si tramuta in

-\frac{1}{4}<2x+4<\frac{1}{4}

Isoliamo x nel membro centrale sottraendo 4 ai tre membri

\\ -4-\frac{1}{4}<2x<\frac{1}{4}-4 \\ \\ \\ -\frac{17}{4}<2x<-\frac{15}{4}

e dividendo i tre membri per 2 ricaviamo

-\frac{17}{8}<x<-\frac{15}{8}

Attenzione, da questo intervallo dobbiamo escludere -2, giacché valore non accettabile, pertanto l'insieme che soddisfa la disequazione

\log_{2}(|2x+4|)<-2

è:

\mathrm{S}_1:\ -\frac{17}{8}<x<-2 \ \vee \ -2<x<-\frac{15}{8}

Teniamo da parte questo risultato e occupiamoci della disequazione

\log_{2}(|2x+4|)>2

Come prima, applichiamo ai due membri la funzione esponenziale in base due

2^{\log_{2}(|2x+4|)}>2^{2}

semplifichiamo il logaritmo con l'esponenziale e scriviamo la relazione che ne consegue

|2x+4|>4

Ci siamo ricondotti a una disequazione con valore assoluto nella forma |A(x)|>\mbox{numero positivo} che si spezza nelle seguenti

2x+4<-4 \ \ \ \vee \ \ \ 2x+4>4

da cui

\mathrm{S}_2:\ x<-4 \ \ \ \vee \ \ \ x>0

Abbiamo praticamente finito! Dobbiamo solamente unire le soluzioni parziali e riportare l'insieme soluzione, senza perdere di vista il campo di esistenza.

\\ \mathrm{S}=\mathrm{S}_1\cup\mathrm{S}_2: \\ \\ x<-4\ \vee \ -\frac{17}{8}<x<-2 \ \vee \ -2<x<-\frac{15}{8} \ \vee \ x>0

È fatta!
Ringraziano: Omega, Galois, xxautod
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Os