Stabilire se un vettore è un autovettore di un endomorfismo

Salve, ho un quesito di Algebra Lineare sugli autovettori di un endomorfismo che non riesco a risolvere.

È vero che se è un endomorfismo di e



allora è un autovettore per ?

Per rispondere al quesito assegnato è sufficiente ricordare la definizione di autovettore di un endomorfismo.

Siano spazio vettoriale finitamente generato su un campo , e un endomorfismo .

Un vettore non nullo è un autovettore di se esiste uno scalare tale che



Inoltre, è utile sapere che lo scalare è detto autovalore riferito a .

Dopo questa breve premessa rispondiamo al quesito.

Sappiamo che è un endomorfismo di tale che



e dobbiamo stabilire se è un autovettore per .

Per quanto ricordato, è un autovettore per se esiste uno scalare tale che .

Attenzione ora! Per la linearità di :



per la condizione



In definitiva:



il che vuol dire che è un autovettore di relativo all'autovalore .

Abbiamo finito!