Stabilire se un vettore è un autovettore di un endomorfismo

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Stabilire se un vettore è un autovettore di un endomorfismo #101040

avt
andre222
Punto
Salve, ho un quesito di Algebra Lineare sugli autovettori di un endomorfismo che non riesco a risolvere.

È vero che se F è un endomorfismo di \mathbb{R}^3 e

F(0,1,1)=(0,-1,-1)

allora (0,2,2) è un autovettore per F?
 
 

Stabilire se un vettore è un autovettore di un endomorfismo #101041

avt
Galois
Amministratore
Per rispondere al quesito assegnato è sufficiente ricordare la definizione di autovettore di un endomorfismo.

Siano V spazio vettoriale finitamente generato su un campo \mathbb{K}, e F:V \to V un endomorfismo .

Un vettore non nullo \mathbf{v} \in V è un autovettore di F se esiste uno scalare \lambda_0 \in \mathbb{K} tale che

F(\mathbf{v})=\lambda_0 \mathbf{v}

Inoltre, è utile sapere che lo scalare \lambda_0 è detto autovalore riferito a \mathbf{v}.

Dopo questa breve premessa rispondiamo al quesito.

Sappiamo che F è un endomorfismo di \mathbb{R}^3 tale che

F(0,1,1)=(0,-1,-1) \ \ (*)

e dobbiamo stabilire se \mathbf{v}=(0,2,2) è un autovettore per F.

Per quanto ricordato, \mathbf{v}=(0,2,2) è un autovettore per F se esiste uno scalare \lambda_0 \in \mathbb{R} tale che F(\mathbf{v})=\lambda_0 \mathbf{v}.

Attenzione ora! Per la linearità di F:

F(0,2,2) = 2 \cdot F(0,1,1) =

per la condizione (*)

\\ = 2 \cdot (0,-1,-1) = (0,-2,-2) = \\ \\ = -1 \cdot (0,2,2)

In definitiva:

F(0,2,2) = -1 \cdot (0,2,2)

il che vuol dire che (0,2,2) è un autovettore di F relativo all'autovalore \lambda_0=-1.

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, andre222
  • Pagina:
  • 1
Os