Esercizio equazione di una retta nello spazio

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Esercizio equazione di una retta nello spazio #101023

avt
FullMath
Punto
C'è un esercizio sulle rette nello spazio per il quale avrei bisogno di aiuto: devo determinare l'equazione di una retta a partire da alcune condizioni.

Trovare l'equazione della retta r passante per P(-1,2,1), perpendicolare e incidente la retta s, passante per A(1,1,1) e parallela al vettore \mathbf{s}=(1,0,3).

Grazie.
 
 

Esercizio equazione di una retta nello spazio #101026

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao FullMath,

in generale per descrivere una retta nello spazio abbiamo bisogno di:

- un punto per cui passa Q(x_{Q},y_{Q},z_{Q});

- un vettore parallelo alla retta \mathbf{v}=(l,m,n)

Se conosciamo sia Q che \mathbf{v}, allora siamo in grado di scrivere l'equazione vettoriale della retta

\mathbf{x}=Q+\mathbf{v}\, t\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

o equivalentemente

\begin{cases}x=x_{Q}+lt\\ y=y_{Q}+m t\\ z=z_{Q}+n t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

Dopo questo breve ripasso, concentriamoci sull'esercizio: ci viene chiesto di trovare la retta r passante per

P(x_{P},y_{P},z_{P})=(-1,2,1)

e che incide perpendicolarmente la retta s di cui conosciamo il punto di passaggio

A(x_{A},y_{A},z_{A})=(1,1,1)

e un vettore parallelo ad essa:

\mathbf{s}=(1,0,3)

Osserviamo immediatamente che disponiamo di tutti gli elementi per scrivere l'equazione vettoriale di s

\\ s:\ \mathbf{x}=A+\mathbf{s}\,t\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ s:\ (x,y,z)=(1,1,1)+(1,0,3)t\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

o equivalentemente

s:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=1\\ z=1+3t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

Per risolvere il problema seguiremo questa strategia:

- determineremo il piano perpendicolare alla retta s e passante per il punto P e lo indicheremo con \pi. Osserviamo che r dovrà necessariamente giacere su questo piano!

- Intersecheremo \pi con la retta s ottenendo così il punto Q - è il punto di intersezione tra r\ \mbox{e} \ s.

- Scriveremo infine una rappresentazione della retta r usando i punti di passaggio P\ \mbox{e} \ Q.

Per ricavare \pi, consideriamo la stella di piani passanti per P

\\ \pi: \ a(x-x_{P})+b(y-y_{P})+c(z-z_{P})=0\\ \\ \pi:\ a(x+1)+b(y-2)+c(z-1)=0

e sostituiamo ordinatamente i coefficienti a,b,c con le componenti del vettore

\mathbf{s}=(l_{s}, m_{s},n_{s})=(1,0,3)

ossia

\pi:\ 1\cdot (x+1)+0 (y-2)+3(z-1)=0

Svolgiamo i calcoli e scriviamo l'equazione cartesiana del piano in forma normale

\pi:\ x+3z-2=0

Il prossimo passo prevede di determinare il punto di intersezione tra \pi\ \mbox{e}\ s. A questo proposito consideriamo il sistema lineare composto dalle equazioni parametriche della retta e dall'equazione del piano

\begin{cases}x=1+t\\ y=1\\ z=1+3t\\ x+3z-2=0\end{cases}

Usiamo il metodo di sostituzione per ricavare la soluzione.

Sostituendo x=1+t, \ y=1,\ z=1+3t nell'ultima relazione, il sistema si tramuta in:

\begin{cases}x=1+t\\ y=1\\ z=1+3t\\ -2 +1+t+3(1+3t)=0\end{cases}

ossia

\begin{cases}x=1+t\\ y=1\\ z=1+3t\\ 2+10 t=0\end{cases}

Dall'ultima relazione segue immediatamente che t=-\frac{1}{5}: una volta sostituito questo valore nelle rimanenti, scopriamo che il sistema è soddisfatto dalla quadrupla

(x,y,z,t)=\left(\frac{4}{5},1 ,\frac{2}{5},-\frac{1}{5}\right)

le cui prime tre componenti costituiscono le coordinate del punto di intersezione tra \pi\ \mbox{e} \ s

Q(x_{Q},y_{Q},z_{Q})=\left(\frac{4}{5},1,\frac{2}{5}\right)

Abbiamo praticamente concluso: ci manca solo una rappresentazione della retta r sapendo che passa per i punti P\ \mbox{e}\ Q.

A questo proposito consideriamo il vettore che congiunge P con Q

\\ \mathbf{v}=\overrightarrow{PQ}=(x_{Q}-x_{P},y_{Q}-y_{P},z_{Q}-z_{P})= \\ \\ \\ =\left(\frac{4}{5}+1,1-2,\frac{2}{5}-1\right)= \\ \\ \\ =\left(\frac{9}{5},-1,-\frac{3}{5}\right)

Esso è parallelo alla retta r, e in quanto tale assume il ruolo di vettore direttore della retta.

Alla luce delle precedenti considerazioni, una rappresentazione vettoriale della retta r è:

\\ r:\ \mathbf{x}=P+\mathbf{v}\, t\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ r: \ (x,y,z)=(-1,2,1)+\left(\frac{9}{5},-1,-\frac{3}{5}\right)t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

Osservazione importante: se moltiplichiamo \mathbf{v} per uno scalare non nullo, otteniamo un altro vettore parallelo alla retta r che può essere eletto a vettore direttore e con il quale è possibile ottenere una rappresentazione equivalente della retta.

Se ad esempio moltiplichiamo per 5 il vettore \mathbf{v}, otteniamo il seguente

\\ \mathbf{w}=5\mathbf{v}=5\cdot\left(\frac{9}{5},-1,-\frac{3}{5}\right)=\\ \\ \\ =(9,-5,-3)

grazie al quale scriviamo la seguente rappresentazione parametrica di r

r:\ (x,y,z)=(-1,2,1)+(9,-5,-3)t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

È fatta!
Ringraziano: Omega

Esercizio equazione di una retta nello spazio #101028

avt
FullMath
Punto
Grazie infinite!

una domanda: nel determinare il fascio di piani, vedo un errore di calcolo, ossia al posto di Xp hai messo 2 anzichè 1 (le coordinate di P erano -1,2,1). E' corretto o sono io che mi perdo qualcosa?

Esercizio equazione di una retta nello spazio #101029

avt
Ifrit
Amministratore
Nono, era semplicemente un typo che non ha inficiato lo svolgimento dell'esercizio.
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Os