Dimensione e base di un sottospazio di matrici

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Dimensione e base di un sottospazio di matrici #101022

avt
FullMath
Punto
Ho dei dubbi su un esercizio che chiede di calcolare la dimensione e una base di un sottospazio di matrici di ordine 2 a coefficienti reali.

Data la matrice

A = [1 1 ;-1 -1 ]

sia W il sottospazio di M_2(R) composto da tutte le matrici X appartenenti a M_2(R) tali che XA = O.

Determinare la sua dimensione e trovare una base.

Grazie per l'aiuto!
 
 

Re: Dimensione e base di un sottospazio di matrici #101027

avt
Galois
Amministratore
M_2(R) denota lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali.

Il testo dell'esercizio assegna una matrice A ∈ M_2(R)

A = [1 1 ;-1 -1]

e chiede di calcolare la dimensione e una base di un sottospazio W di M_2(R) composto da tutte le matrici X tali che XA = O, dove O è la matrice nulla di ordine 2, quindi

W = X ∈ M_2(R) | XA = O

Ricaviamo la forma generale di una matrice di W. Sia

X = [a b ; c d]

una qualsiasi matrice di M_2(R) e calcoliamo il prodotto riga per colonna XA:

XA = [a b ; c d] [1 1 ;-1 -1] = [a-b a-b ; c-d c-d]

Imponendo che sia XA = O otteniamo l'uguaglianza matriciale

[a-b a-b ; c-d c-d] = [0 0 ; 0 0]

che equivale al sistema

a-b = 0 ; c-d = 0 → a = b ; c = d

In definitiva, le matrici di W sono tutte e sole le matrici di M_2(R) della forma

[a a ; c c ]

Scriviamola sotto forma di combinazione lineare avente per coefficienti i parametri a e c

[a a ; c c ] = a [1 1 ; 0 0 ]+c [0 0 ; 1 1 ]

In tal modo possiamo ridefinire W come segue:

W = a[1 1 ; 0 0 ]+c[0 0 ; 1 1 ] | a,c ∈ R

Risulta così evidente che W è il sottospazio di M_2(R) generato dalle matrici

B = [1 1 ; 0 0 ] ; C = [0 0 ; 1 1 ]

ossia

W = Span(B,C)

Per definizione di sottospazio generato l'insieme B,C è un sistema di generatori di W.

Inoltre tale insieme è linearmente indipendente. Per verificarlo prendiamo due scalari λ_1, λ_2 ∈ R e imponiamo che sia

λ_1 B+λ_2 C = O

da cui

λ_1 [1 1 ; 0 0 ]+λ_2 [ 0 0 ; 1 1 ] = [0 0 ; 0 0 ]

Svolgiamo i prodotti scalare-matrice

[λ_1 λ_1 ; 0 0 ]+[ 0 0 ; λ_2 λ_2 ] = [0 0 ; 0 0 ]

e calcoliamo la somma matriciale

[λ_1 λ_1 ; λ_2 λ_2 ] = [0 0 ; 0 0 ]

Evidentemente l'uguaglianza è soddisfatta solo per λ_1 = λ_2 = 0, cosicché le due matrici sono indipendenti tra loro.

Una base di un sottospazio vettoriale è, per definizione, un insieme di vettori linearmente indipendenti e tali da generare il sottospazio.

L'insieme B,C soddisfa entrambe le richieste, per cui una base di W è

mathcalB_(W) = B,C = [1 1 ; 0 0 ], [0 0 ; 1 1 ]

e la dimensione di W, data dalla cardinalità di una sua qualsiasi base, è pari a 2.

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega
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Os