Dimensione e base di un sottospazio di matrici

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Dimensione e base di un sottospazio di matrici #101022

avt
FullMath
Punto
Ho dei dubbi su un esercizio che chiede di calcolare la dimensione e una base di un sottospazio di matrici di ordine 2 a coefficienti reali.

Data la matrice

A=\begin{pmatrix}1 &1 \\  -1&-1 \end{pmatrix}

sia W il sottospazio di M_2(\mathbb{R}) composto da tutte le matrici X appartenenti a M_2(\mathbb{R}) tali che XA=O.

Determinare la sua dimensione e trovare una base.

Grazie per l'aiuto!
 
 

Re: Dimensione e base di un sottospazio di matrici #101027

avt
Galois
Amministratore
M_2(\mathbb{R}) denota lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali.

Il testo dell'esercizio assegna una matrice A \in M_2(\mathbb{R})

A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}

e chiede di calcolare la dimensione e una base di un sottospazio W di M_2(\mathbb{R}) composto da tutte le matrici X tali che XA=O, dove O è la matrice nulla di ordine 2, quindi

W=\left\{X \in M_2(\mathbb{R}) \ | \ XA=O \right\}

Ricaviamo la forma generale di una matrice di W. Sia

X=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}

una qualsiasi matrice di M_2(\mathbb{R}) e calcoliamo il prodotto riga per colonna XA:

\\ XA=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & -1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}a-b & a-b \\ c-d & c-d\end{pmatrix}

Imponendo che sia XA=O otteniamo l'uguaglianza matriciale

\begin{pmatrix}a-b & a-b \\ c-d & c-d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}

che equivale al sistema

\begin{cases}a-b=0 \\ c-d=0\end{cases} \ \to \ \begin{cases}a=b \\ c=d \end{cases}

In definitiva, le matrici di W sono tutte e sole le matrici di M_2(\mathbb{R}) della forma

\begin{pmatrix}a&a \\ c&c \end{pmatrix}

Scriviamola sotto forma di combinazione lineare avente per coefficienti i parametri a e c

\begin{pmatrix}a&a \\ c&c \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix}1&1 \\ 0&0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix}0&0 \\ 1&1 \end{pmatrix}

In tal modo possiamo ridefinire W come segue:

W=\left\{a\begin{pmatrix}1&1 \\ 0&0 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0&0 \\ 1&1 \end{pmatrix} \ | \ a,c \in \mathbb{R}\right\}

Risulta così evidente che W è il sottospazio di M_2(\mathbb{R}) generato dalle matrici

B=\begin{pmatrix}1&1 \\ 0&0 \end{pmatrix} \ \ ; \ \  C=\begin{pmatrix}0&0 \\ 1&1 \end{pmatrix}

ossia

W=\mbox{Span}(B,C)

Per definizione di sottospazio generato l'insieme \{B,C\} è un sistema di generatori di W.

Inoltre tale insieme è linearmente indipendente. Per verificarlo prendiamo due scalari \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} e imponiamo che sia

\lambda_1 B + \lambda_2 C = O

da cui

\lambda_1 \begin{pmatrix}1&1 \\ 0&0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0&0 \\ 1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

Svolgiamo i prodotti scalare-matrice

\begin{pmatrix}\lambda_1 & \lambda_1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \lambda_2 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

e calcoliamo la somma matriciale

\begin{pmatrix}\lambda_1 & \lambda_1 \\ \lambda_2 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

Evidentemente l'uguaglianza è soddisfatta solo per \lambda_1=\lambda_2=0, cosicché le due matrici sono indipendenti tra loro.

Una base di un sottospazio vettoriale è, per definizione, un insieme di vettori linearmente indipendenti e tali da generare il sottospazio.

L'insieme \{B,C\} soddisfa entrambe le richieste, per cui una base di W è

\mathcal{B}_{W}=\{B,C\}=\left\{\begin{pmatrix}1&1 \\ 0&0 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&0 \\ 1&1 \end{pmatrix}\right\}

e la dimensione di W, data dalla cardinalità di una sua qualsiasi base, è pari a 2.

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega
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Os