Esercizio: dimostrare alcune relazioni insiemistiche

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Esercizio: dimostrare alcune relazioni insiemistiche #101005

avt
angel12
Punto
Dimostrare se le seguenti relazioni insiemistiche sono vere o false.

beginarrayll(a) A = B U (A setminus B) ; (b) C = (B U C) setminus B ; (c) C = (B U C) setminus (B setminus C) endarray
 
 

Esercizio: dimostrare alcune relazioni insiemistiche #101015

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di risolvere l'esercizio, richiamiamo le definizioni che useremo durante lo svolgimento.

L'unione di due insiemi A,B è un nuovo insieme costituito sia dagli elementi di A sia dagli elementi di B.

A U B = x| x∈ A oppure x∈ B

L'intersezione tra due insiemi A,B è l'insieme costituito dagli elementi comuni tra A e B

A ∩ B = x|x∈ A e x∈ B

Il complementare di un insieme A è per definizione l'insieme degli elementi che non appartengono ad A

A^(c) = x| x ∉ A

La differenza insiemistica tra A e B è per definizione l'insieme degli elementi di A che appartengono al complementare di B

A setminus B = x| x∈ A e x∈ B^(C)

Osserviamo che dalla definizione di differenza e da quella di intersezione, segue immediatamente che:

A setminus B = A ∩ B^(C)

Interverrà anche la legge di De Morgan secondo cui il complementare dell'unione di due insiemi coincide con l'intersezione dei loro complementari:

(A U B)^(C) = A^(C) ∩ B^(C)

Dopo queste premesse, possiamo occuparci dei tre quesiti.


(a) A=BU(A\B)

Come dimostra il diagramma di Eulero-Venn, la relazione insiemistica

A = B U (A setminus B)

è falsa.

eulero venn_B_U_C B_2

Come controesempio indichiamo con A e B i seguenti insiemi

A = 1,2,3 , B = 1,2,5

Calcoliamo A setminus B

A setminus B = 3

e usiamolo per esplicitare B U (A setminus B):

B U (A setminus B) = 1,2,5 U 3 = 1,2,3,5

Il risultato non coincide con A, per cui l'uguaglianza insiemistica è falsa.


(b) C=(B U C)\ B

Il diagramma di Eulero-Venn mostra che anche la relazione

C = (B U C) setminus B

è falsa.

eulero venn_B_U_C B_1

Come controesempio, consideriamo gli insiemi

B = 1,2,5 , C = 1,2,7

Calcoliamo la loro unione

B U C = 1,2,5,7

con cui possiamo esplicitare (B U C) setminus B

(B U C) setminus B = 1,2,5,7 setminus1,2,5 = 7

Evidentemente il risultato non coincide con l'insieme C.


(c) C=(BUC)\(B\C)

L'uguaglianza insiemistica

C = (B U C) setminus (B setminus C)

è vera, come dimostra il seguente diagramma di Eulero-Venn.

eulero venn_CBUC B C

Per dimostrarlo abbiamo bisogno di diverse proprietà delle operazioni insiemistiche.

Partiamo dal secondo membro

(B U C) setminus (B setminus C) =

e riscriviamo B setminus C in termini di intersezione

= (B U C) setminus (B ∩ C^(C)) =

o equivalente

= (B U C) ∩ (B ∩ C^(C))^(C) =

In accordo con la legge di De Morgan, la precedente relazione diventa

= (B U C) ∩ (B^(C) U C) =

A questo punto interviene la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione che ci permette di rielaborare l'espressione come segue:

= [(B U C) ∩ B^(C)] U [(B U C) ∩ C] =

Continuiamo con la proprietà distributiva

= (B ∩ B^(C)) U (C ∩ B^(C)) U (B ∩ C) U (C ∩ C) =

e osserviamo che l'intersezione tra B e il suo complementare coincide con l'insieme vuoto, mentre l'intersezione tra C e se stesso coincide con C.

 = Ø U (C ∩ B^(C)) U (B ∩ C) U C = (C ∩ B^(C)) U (B ∩ C) U C =

Notiamo che B ∩ C è un sottoinsieme di C, di conseguenza (B ∩ C) U C = C pertanto:

= (C ∩ B^(C)) U C = (C setminus B) U C = C

In definitiva siamo riusciti a dimostrare che

(B U C) setminus (B setminus C) = C

come volevamo.
Ringraziano: angel12
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Os