Esercizio: dimostrare alcune relazioni insiemistiche

Dimostrare se le seguenti relazioni insiemistiche sono vere o false.

Prima di risolvere l'esercizio, richiamiamo le definizioni che useremo durante lo svolgimento.

L'unione di due insiemi è un nuovo insieme costituito sia dagli elementi di sia dagli elementi di .



L'intersezione tra due insiemi è l'insieme costituito dagli elementi comuni tra e



Il complementare di un insieme è per definizione l'insieme degli elementi che non appartengono ad



La differenza insiemistica tra e è per definizione l'insieme degli elementi di che appartengono al complementare di



Osserviamo che dalla definizione di differenza e da quella di intersezione, segue immediatamente che:



Interverrà anche la legge di De Morgan secondo cui il complementare dell'unione di due insiemi coincide con l'intersezione dei loro complementari:



Dopo queste premesse, possiamo occuparci dei tre quesiti.


(a) A=BU(A\B)

Come dimostra il diagramma di Eulero-Venn, la relazione insiemistica



è falsa.


Come controesempio indichiamo con e i seguenti insiemi



Calcoliamo



e usiamolo per esplicitare :



Il risultato non coincide con , per cui l'uguaglianza insiemistica è falsa.


(b) C=(B U C)\ B

Il diagramma di Eulero-Venn mostra che anche la relazione



è falsa.


Come controesempio, consideriamo gli insiemi



Calcoliamo la loro unione



con cui possiamo esplicitare



Evidentemente il risultato non coincide con l'insieme .


(c) C=(BUC)\(B\C)

L'uguaglianza insiemistica



è vera, come dimostra il seguente diagramma di Eulero-Venn.


Per dimostrarlo abbiamo bisogno di diverse proprietà delle operazioni insiemistiche.

Partiamo dal secondo membro



e riscriviamo in termini di intersezione



o equivalente



In accordo con la legge di De Morgan, la precedente relazione diventa



A questo punto interviene la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione che ci permette di rielaborare l'espressione come segue:



Continuiamo con la proprietà distributiva



e osserviamo che l'intersezione tra e il suo complementare coincide con l'insieme vuoto, mentre l'intersezione tra e se stesso coincide con .



Notiamo che è un sottoinsieme di , di conseguenza pertanto:



In definitiva siamo riusciti a dimostrare che



come volevamo.