Derivata rispetto a t di un'equazione in x(t), y(t)

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#100934
avt
GG1
Punto

Ciao,

ho la seguente equazione:

x(t)+y(t) = L^2

di cui voglio calcolarne la derivata prima e seconda rispetto a t:

per quanto riguarda la derivata prima il libro mi propone:

2x(t) dotx(t)+2y(t) doty(t) = 0

Non mi e' chiaro il procedimento che usa per calcolare la derivata rispetto a t in cui t e' contenuto in x e y.

Grazie mille!

#100935
avt
Ifrit
Amministratore

Ciao GG1,

il nostro obiettivo consiste nel derivare rispetto alla variabile t l'espressione

x^2(t)+y^2(t) = L^2

dove x(t) e y(t) sono funzioni derivabili rispetto a t, mentre L^2 è una costante rispetto alla variabile t.

In maniera più esplicita? Dobbiamo calcolare:

(d)/(dt)[x^2(t)+y^2(t)] = (d)/(dt)[L^2]

Osserviamo preliminarmente che:

- la derivata di una costante è zero;

- la derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate degli addendi,

(d)/(dt)[f(t)+g(t)] = (d)/(dt)[f(t)]+(d)/(dt)[g(t)]

- la derivata della potenza di una funzione derivabile si calcola avvalendosi della formula per la derivata di una funzione composta. In generale:

(d)/(dt)[f(t)]^(n) = n [f(t)]^(n−1)(d)/(dt)[f(t)]

In termini più semplici, bisogna rifarsi alla regola per la derivata della potenza e ricordarsi di moltiplicare per la derivata della funzione che ne costituisce la base.

Disponiamo finalmente di tutta la teoria necessaria per risolvere il problema. Partiamo dall'equazione

(d)/(dt)[x^2(t)+y^2(t)] = (d)/(dt)[L^2]

che, grazie alla regola sulla derivata della somma e per quella della derivata di una costante, diventa

(d)/(dt)[x^2(t)]+(d)/(dt)[y^2(t)] = 0

Sostituendo le scritture x^2(t) e y^2(t) con (x(t))^2 e (y(t))^2, otteniamo l'equazione equivalente:

(d)/(dt)[(x(t))^2]+(d)/(dt)[(y(t))^2] = 0

A questo punto interviene la regola per la derivata della potenza di una funzione, grazie alla quale scriviamo:

2(x(t))^(2−1)(d)/(dt)[x(t)]+2(y(t))^(2−1)(d)/(dt)[y(t)] = 0 ; 2x(t)(d)/(dt)[x(t)]+2y(t)(d)/(dt)[y(t)] = 0

Abbiamo praticamente finito! Bisogna solo sostituire le notazioni di Leibniz nelle derivate

(d)/(dt)[x(t)] e (d)/(dt)[y(t)]

con quelle usate da Newton

dotx(t) e doty(t)

grazie alle quali l'equazione

2x(t)(d)/(dt)[x(t)]+2y(t)(d)/(dt)[y(t)] = 0

si tramuta in

2x(t) dotx(t)+2y(t) doty(t) = 0

Abbiamo finito!

#100936
avt
GG1
Punto

Chiarissimo, grazie mille!

Per quanto riguarda la derivata seconda invece devo applicare la regola del prodotto tra derivate, giusto?

Grazie mille,

#100937
avt
Ifrit
Amministratore

Esattamente! Bisogna rifarsi alla regola per la derivata del prodotto

(d)/(dt)[f(t)·g(t)] = (d)/(dt)[f(t)]g(t)+f(t)(d)/(dt)[g(t)]

grazie alla quale, e con qualche passaggio algebrico, l'equazione

(d)/(dt)[2x(t)(d)/(dt)[x(t)]+2y(t)(d)/(dt)[y(t)]] = 0

si tramuta in:

2((d)/(dt)[x(t)])^2+2((d)/(dt)[y(t)])^2+2x(t)(d^2)/(dt^2)[x(t)]+2y(t)(d^2)/(dt^2)[y(t)] = 0

o equivalentemente nelle notazioni di Newton:

2[ dotx(t)]^2+2[ doty(t)]^2+2x(t) ddotx(t)+2y(t) ddoty(t) = 0

Volendo possiamo raccogliere il fattore comune 2 e dividerlo membro a membro: l'equazione che ne consegue è

[ dotx(t)]^2+[ doty(t)]^2+x(t) ddotx(t)+y(t) ddoty(t) = 0

Ringraziano: GG1
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