Derivata rispetto a t di un'equazione in x(t), y(t)

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Derivata rispetto a t di un'equazione in x(t), y(t) #100934

avt
GG1
Punto
Ciao,
ho la seguente equazione:

x(t)+y(t)=L^2

di cui voglio calcolarne la derivata prima e seconda rispetto a t:

per quanto riguarda la derivata prima il libro mi propone:

 2x(t)\dot{x}(t)+2y(t)\dot{y}(t)=0

Non mi e' chiaro il procedimento che usa per calcolare la derivata rispetto a t in cui t e' contenuto in x e y.

Grazie mille!
 
 

Derivata rispetto a t di un'equazione in x(t), y(t) #100935

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao GG1,

il nostro obiettivo consiste nel derivare rispetto alla variabile t l'espressione

x^2(t)+y^2(t)=L^2

dove x(t) \ \mbox{e} \ y(t) sono funzioni derivabili rispetto a t, mentre L^2 è una costante rispetto alla variabile t.

In maniera più esplicita? Dobbiamo calcolare:

\frac{d}{dt}\left[x^2(t)+y^2(t)\right]=\frac{d}{dt}[L^2]

Osserviamo preliminarmente che:

- la derivata di una costante è zero;

- la derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate degli addendi,

\frac{d}{dt}[f(t)+g(t)]=\frac{d}{dt}[f(t)]+\frac{d}{dt}[g(t)]

- la derivata della potenza di una funzione derivabile si calcola avvalendosi della formula per la derivata di una funzione composta. In generale:

\frac{d}{dt}\left\{[f(t)]^{n}\right\}=n [f(t)]^{n-1}\frac{d}{dt}[f(t)]

In termini più semplici, bisogna rifarsi alla regola per la derivata della potenza e ricordarsi di moltiplicare per la derivata della funzione che ne costituisce la base.

Disponiamo finalmente di tutta la teoria necessaria per risolvere il problema. Partiamo dall'equazione

\frac{d}{dt}\left[x^2(t)+y^2(t)\right]=\frac{d}{dt}[L^2]

che, grazie alla regola sulla derivata della somma e per quella della derivata di una costante, diventa

\frac{d}{dt}\left[x^2(t)\right]+\frac{d}{dt}\left[y^2(t)\right]=0

Sostituendo le scritture x^2(t)\ \mbox{e} \ y^2(t) con (x(t))^2\ \mbox{e} \ (y(t))^2, otteniamo l'equazione equivalente:

\frac{d}{dt}\left[(x(t))^2\right]+\frac{d}{dt}\left[(y(t))^2\right]=0

A questo punto interviene la regola per la derivata della potenza di una funzione, grazie alla quale scriviamo:

\\ 2(x(t))^{2-1}\frac{d}{dt}[x(t)]+2(y(t))^{2-1}\frac{d}{dt}[y(t)]=0\\ \\ \\ 2x(t)\frac{d}{dt}[x(t)]+2y(t)\frac{d}{dt}[y(t)]=0

Abbiamo praticamente finito! Bisogna solo sostituire le notazioni di Leibniz nelle derivate

\frac{d}{dt}[x(t)]\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \frac{d}{dt}[y(t)]

con quelle usate da Newton

\dot{x}(t)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \dot{y}(t)

grazie alle quali l'equazione

2x(t)\frac{d}{dt}[x(t)]+2y(t)\frac{d}{dt}[y(t)]=0

si tramuta in

2x(t)\dot{x}(t)+2y(t)\dot{y}(t)=0

Abbiamo finito!

Derivata rispetto a t di un'equazione in x(t), y(t) #100936

avt
GG1
Punto
Chiarissimo, grazie mille!

Per quanto riguarda la derivata seconda invece devo applicare la regola del prodotto tra derivate, giusto?

Grazie mille,

Derivata rispetto a t di un'equazione in x(t), y(t) #100937

avt
Ifrit
Amministratore
Esattamente! Bisogna rifarsi alla regola per la derivata del prodotto

\frac{d}{dt}[f(t)\cdot g(t)]=\frac{d}{dt}[f(t)]g(t)+f(t)\frac{d}{dt}[g(t)]

grazie alla quale, e con qualche passaggio algebrico, l'equazione

\frac{d}{dt}\left[2x(t)\frac{d}{dt}[x(t)]+2y(t)\frac{d}{dt}[y(t)]\right]=0

si tramuta in:

2\left(\frac{d}{dt}[x(t)]\right)^2+2\left(\frac{d}{dt}[y(t)]\right)^2+2x(t)\frac{d^2}{dt^2}[x(t)]+2y(t)\frac{d^2}{dt^2}[y(t)]=0

o equivalentemente nelle notazioni di Newton:

2[\dot{x}(t)]^2+2[\dot{y}(t)]^2+2x(t)\ddot{x}(t)+2y(t)\ddot{y}(t)=0

Volendo possiamo raccogliere il fattore comune 2 e dividerlo membro a membro: l'equazione che ne consegue è

[\dot{x}(t)]^2+[\dot{y}(t)]^2+x(t)\ddot{x}(t)+y(t)\ddot{y}(t)=0
Ringraziano: GG1
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Os