Equazione differenziale e intervallo di definizione della soluzione

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Equazione differenziale e intervallo di definizione della soluzione #100927

avt
Demos
Punto
Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto con il seguente esercizio:
Risolvere la seguente equazione differenziale

y'+y\cos(x)=\sin(2x)

determinando il più ampio intervallo ove è definita la soluzione.

Risolvendola ho ottenuto le soluzioni

y=2\left[\sin(x)-1+ce^{-\sin(x)}\right]

a questo punto però non so più come continuare non avendo una condizione iniziale data dal problema di Cauchy emt.
 
 

Re: Equazione differenziale e intervallo di definizione della soluzione #100928

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Demos,

La relazione

y'+\cos(x)y=\sin(2x)

individua un'equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea, infatti si presenta nella forma

y'+a(x)y=f(x)

in cui:

\bullet \ \ \ a(x)=\cos(x) è una funzione continua su tutto l'asse reale \mathbb{R};

\bullet \ \ \ f(x)=\sin(2x) è anch'essa continua sull'intero asse reale.

L'integrale generale dell'equazione differenziale, ossia la famiglia di soluzioni dell'equazione, si ricava avvalendosi della formula risolutiva

y(x)=e^{-A(x)}\left[c+\int f(x)e^{A(x)}dx\right]

in cui A(x) è una primitiva di a(x).

Calcoliamo l'integrale indefinito del coseno

\int a(x)dx= \int\cos(x)dx=\sin(x)+c_1

e consideriamo la primitiva che si ottiene per c_1=0

A(x)=\sin(x)

Rimpiazzando nella formula sia A(x) che f(x), essa diventa

y(x)=e^{-\sin(x)}\left[c+\int \sin(2x)e^{\sin(x)}dx\right]=(\bullet)

Sfruttando come si deve la formula di duplicazione del seno

\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)\ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

ci riconduciamo a:

(\bullet)=e^{-\sin(x)}\left[c+\int 2\sin(x)\cos(x)e^{\sin(x)}dx\right]=

A questo punto integriamo per sostituzione, ponendo t=\sin(x) e calcolando il nuovo differenziale dt=\cos(x)dx, pertanto l'integrale diventa

=e^{-\sin(x)}\left[c+\int 2te^{t}dt\right]

Continuiamo con il metodo di integrazione per parti, scegliendo come fattore finito (facile da derivare)

h(t)=t \ \ \ \to \ \ \ h'(t)=1

e come fattore differenziale (facile da integrare) la funzione esponenziale

k'(t)=e^{t} \ \ \ \to \ \ \ k(t)=e^{t}

In virtù della formula

\int h(x)k'(x)dx=h(x)k(x)-\int h'(x)k(x)dx

l'espressione

e^{-\sin(x)}\left[c+\int 2te^{t}dt\right]=

diventa

\\ =e^{-\sin(x)}\left[c+2\left(te^t-\int e^tdt\right)\right]=\\ \\ =e^{-\sin(x)}\left[c+2(te^{t}-e^{t})+k\right]=\\ \\ =e^{-\sin(x)}\left[c+2te^{t}-2e^{t}+k\right]=

A questo punto ripristiniamo l'incognita x ricordando che t=\sin(x) e inglobiamo le costanti additive c\ \mbox{e} \ k in un'unica costane C

=e^{-\sin(x)}\left[C+2\sin(x)e^{\sin(x)}-2e^{\sin(x)}\right]=

Distribuendo infine il fattore e^{-\sin(x)} a ciascun addendo all'interno delle parentesi quadre e semplificando opportunamente, perveniamo alla famiglia di soluzioni

\\ =Ce^{-\sin(x)}+2\sin(x)e^{\sin(x)}e^{-\sin(x)}-e^{\sin(x)}e^{-\sin(x)}= \\ \\ =Ce^{-\sin(x)}+2\sin(x)-2 \ \ \ \mbox{con} \ C\in\mathbb{R}


Dominio massimale su cui è definita la famiglia di soluzioni

Proprio perché l'equazione differenziale è lineare e del primo ordine e poiché le funzioni che la compongono

a(x)=\cos(x)\ \ \ \ \mbox{e} \ \ \ f(x)=\sin(2x)

sono definite e continue su tutto \mathbb{R}, possiamo tranquillamente concludere che la famiglia di soluzioni è globale, nel senso che è definita ovunque.
Ringraziano: Omega, Galois, Demos

Re: Equazione differenziale e intervallo di definizione della soluzione #100929

avt
Demos
Punto
Grazie Ifrit, ho capito la tua risoluzione ma a questo punto mi chiedo in esercizi di questo tipo se ad esempio ho:

y'+2xy=xe^{-x^{2}}

la cui famiglia di soluzioni sono:

y=e^{^{-x^2}}\left (\frac{x^{2}}{2}+c \right)

per trovare l'intervallo massimale devo guardare le funzioni:

a(x)=2x definita in tutto R;

f(x)=xe^{-x^{2}} definita in tutto R.

A questo punto posso dire che la famiglia di soluzioni è definita in tutto R?

Re: Equazione differenziale e intervallo di definizione della soluzione #100930

avt
Ifrit
Amministratore
Attenzione: non devono essere definite, devono essere continue. Questa è una diretta conseguenza del teorema di esistenza e unicità globale della soluzione di un problema di Cauchy, che recita:

Siano I\subseteq\mathbb{R} un intervallo (è fondamentale che sia un intervallo), a(x)\ \mbox{e} \ f(x) due funzioni continue in I e x_{0}\in I\ \mbox{e} \ y_{0}\in\mathbb{R}.

Allora esiste ed è unica la soluzione massimale del problema

\begin{cases}y'+a(x)y=f(x)\\ y(x_0)=y_0\end{cases}

ed è definita in I.

In generale quando si risolve un'equazione differenziale, è come se ci fosse la condizione iniziale generica y(x_0)=y_0, al variare della quale ci permette di determinare i possibili intervalli massimali.

Nel caso in cui ci troviamo di fronte a un'equazione differenziale lineare del primo ordine e se le funzioni a(x) e f(x) sono definite e continue su tutto l'asse reale, la famiglia di soluzioni eredita la caratteristica di essere definita su tutto \mathbb{R}.

Per farti un esempio più antipatico, ma molto più significativo, puoi considerare l'equazione differenziale

y'-\frac{y}{x}=x

la quale è soddisfatta dalla famiglia di soluzioni

y(x)=x^2+k x \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{R}

Poiché a(x)=-\frac{1}{x} è una funzione continua in ciascuno degli intervalli (-\infty, 0) e (0,+\infty) e poiché f(x)=x è continua in \mathbb{R}, l'intervallo massimale delle soluzioni è (-\infty,0) oppure (0,+\infty).

Nel caso in cui stessi risolvendo l'equazione differenziale, dovrai riportare entrambi gli intervalli (mi raccomando: senza metterci il simbolo di unione insiemistica, nota che in generale l'unione di intervalli non è un intervallo).

Se invece stai analizzando un problema di Cauchy, dovrai prestare la massima attenzione all'ascissa x_0 del punto iniziale: l'intervallo massimale dovrà necessariamente contenerla.
Ringraziano: Galois, Demos
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Os