Problema con angoli noti somma e rapporto

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Problema con angoli noti somma e rapporto #100827

avt
Marcomo
Punto
Ho un problema di geometria in cui mi viene chiesto di calcolare le ampiezze di due angoli, noti la loro somma e il loro rapporto.

2 angoli sono uno i \frac{7}{2} dell'altro e la loro somma è 135^{\circ}. Calcolare la loro ampiezza.

Grazie mille, ciao Marco.
 
 

Problema con angoli noti somma e rapporto #100829

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Marcomo!

Il problema può essere risolto seguendo due strade: usare la strategia risolutiva adatta ai problemi sui i segmenti con somma e rapporto, oppure rifarsi alla teoria dei sistemi lineari.

Mostreremo entrambi i metodi, però evidenziamo che il primo metodo va bene per il primo/secondo anno delle scuole medie, mentre il secondo è più adatto al terzo anno, o ancora al biennio delle superiori.


Metodo dei segmenti con somma e rapporto

Il nostro obiettivo prevede di determinare le ampiezze di due angoli \hat{A}\ \mbox{e} \ \hat{B} disponendo della loro somma

\hat{A}+\hat{B}=135^{\circ}

e del loro rapporto, sappiamo infatti che l'angolo \hat{A} è i \frac{7}{2} di \hat{B}:

\hat{A}=\frac{7}{2}\ \mbox{di} \ \hat{B}

Nota la somma \hat{A}+\hat{B} e il rapporto \frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}, possiamo tranquillamente usare le seguenti formule:

\hat{A}=[(\hat{A}+\hat{B}):(\mbox{numeratore}+\mbox{denominatore})]\times\mbox{numeratore}=

dove nel gergo matematico [(\hat{A}+\hat{B}):(\mbox{numeratore}+\mbox{denominatore})] individua la cosiddetta unità frazionaria.

=[135^{\circ}:(7+2)]\times 7=135^{\circ}:9\times 7= \\ \\ =15^{\circ}\times 7=105^{\circ}

Per ricavare l'ampiezza del secondo angolo la formula da usare è:

\\ \hat{B}=[(\hat{A}+\hat{B}):(\mbox{numeratore}+\mbox{denominatore})]\times\mbox{denominatore}=\\ \\ =[135^{\circ}:(7+2)]\times 2=135^{\circ}:9\times 2=\\ \\ =15^{\circ}\times 2=30^{\circ}

I due angoli misurano quindi

\hat{A}=105^{\circ} \ \ ,\ \ \hat{B}=30^{\circ}


Sistemi lineari

Le condizioni

\\ \hat{A}+\hat{B}=135^{\circ} \\ \\ \hat{A}=\dfrac{7}{2}\hat{B}

costituiscono il sistema lineare

\begin{cases}\hat{A}+\hat{B}=135^{\circ} \\ \\ \hat{A}=\dfrac{7}{2}\hat{B}\end{cases}

che può essere risolto tranquillamente con il metodo di sostituzione.

Sostituiamo \hat{A}=\frac{7}{2}\hat{B} nella prima equazione cosicché il sistema diventi

\begin{cases}\dfrac{7}{2}\hat{B}+\hat{B}=135^{\circ} \\ \\ \hat{A}=\dfrac{7}{2}\hat{B}\end{cases}

dopodiché scriviamo la prima relazione in forma normale

\\ \begin{cases}\dfrac{7+2}{2}\hat{B}=135^{\circ} \\ \\ \hat{A}=\dfrac{7}{2}\hat{B}\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}\dfrac{9}{2}\hat{B}=135^{\circ} \\ \\ \hat{A}=\dfrac{7}{2}\hat{B}\end{cases}

A questo punto risolviamo l'equazione di primo grado nell'incognita \hat{B} moltiplicando a destra e a sinistra per 2

\\ \begin{cases}9\hat{B}=2\times 135^{\circ} \\ \\ \hat{A}=\dfrac{7}{2}\hat{B}\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}9\hat{B}=270^{\circ} \\ \\ \hat{A}=\dfrac{7}{2}\hat{B}\end{cases}

e dividendo in seguito per 9.

\begin{cases}\hat{B}=\dfrac{270^{\circ}}{9} \ \ \to \ \ \hat{B}=30^{\circ} \\ \\ \hat{A}=\dfrac{7}{2}\hat{B}\end{cases}

Nota l'ampiezza di \hat{B}, possiamo sostituirla nella seconda equazione e ricavare quella di \hat{A}

\begin{cases}\hat{B}=30^{\circ} \\ \\ \hat{A}=\dfrac{7}{2}\times 30^{\circ}=(7\times 30^{\circ}):2=210^{\circ}:2=105^{\circ}\end{cases}

Abbiamo finito! Le ampiezze degli angoli sono

\hat{A}=105^{\circ} \ \ \ , \ \ \ \hat{B}=30^{\circ}

Sottolineiamo ancora una volta che il primo metodo va bene per gli studenti del primo biennio delle scuole medie, il secondo va bene se lo studente è in terza oppure nel biennio delle scuole superiori.
Ringraziano: Marcomo
  • Pagina:
  • 1
Os