Problema con angoli noti somma e rapporto

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Problema con angoli noti somma e rapporto #100827

avt
Marcomo
Punto
Ho un problema di geometria in cui mi viene chiesto di calcolare le ampiezze di due angoli, noti la loro somma e il loro rapporto.

2 angoli sono uno i (7)/(2) dell'altro e la loro somma è 135°. Calcolare la loro ampiezza.

Grazie mille, ciao Marco.
 
 

Problema con angoli noti somma e rapporto #100829

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Marcomo!

Il problema può essere risolto seguendo due strade: usare la strategia risolutiva adatta ai problemi sui i segmenti con somma e rapporto, oppure rifarsi alla teoria dei sistemi lineari.

Mostreremo entrambi i metodi, però evidenziamo che il primo metodo va bene per il primo/secondo anno delle scuole medie, mentre il secondo è più adatto al terzo anno, o ancora al biennio delle superiori.


Metodo dei segmenti con somma e rapporto

Il nostro obiettivo prevede di determinare le ampiezze di due angoli hatA e hatB disponendo della loro somma

hatA+ hatB = 135°

e del loro rapporto, sappiamo infatti che l'angolo hatA è i (7)/(2) di hatB:

hatA = (7)/(2) di hatB

Nota la somma hatA+ hatB e il rapporto (numeratore)/(denominatore), possiamo tranquillamente usare le seguenti formule:

hatA = [(hatA+ hatB):(numeratore+denominatore)]×numeratore =

dove nel gergo matematico [(hatA+ hatB):(numeratore+denominatore)] individua la cosiddetta unità frazionaria.

= [135°:(7+2)]×7 = 135°:9×7 = 15°×7 = 105°

Per ricavare l'ampiezza del secondo angolo la formula da usare è:

 hatB = [(hatA+ hatB):(numeratore+denominatore)]×denominatore = [135°:(7+2)]×2 = 135°:9×2 = 15°×2 = 30°

I due angoli misurano quindi

hatA = 105° , hatB = 30°


Sistemi lineari

Le condizioni

 hatA+ hatB = 135° ; hatA = (7)/(2) hatB

costituiscono il sistema lineare

hatA+ hatB = 135° ; hatA = (7)/(2) hatB

che può essere risolto tranquillamente con il metodo di sostituzione.

Sostituiamo hatA = (7)/(2) hatB nella prima equazione cosicché il sistema diventi

(7)/(2) hatB+ hatB = 135° ; hatA = (7)/(2) hatB

dopodiché scriviamo la prima relazione in forma normale

 (7+2)/(2) hatB = 135° ; hatA = (7)/(2) hatB ; (9)/(2) hatB = 135° ; hatA = (7)/(2) hatB

A questo punto risolviamo l'equazione di primo grado nell'incognita hatB moltiplicando a destra e a sinistra per 2

 9 hatB = 2×135° ; hatA = (7)/(2) hatB ; 9 hatB = 270° ; hatA = (7)/(2) hatB

e dividendo in seguito per 9.

hatB = (270°)/(9) → hatB = 30° ; hatA = (7)/(2) hatB

Nota l'ampiezza di hatB, possiamo sostituirla nella seconda equazione e ricavare quella di hatA

hatB = 30° ; hatA = (7)/(2)×30° = (7×30°):2 = 210°:2 = 105°

Abbiamo finito! Le ampiezze degli angoli sono

hatA = 105° , hatB = 30°

Sottolineiamo ancora una volta che il primo metodo va bene per gli studenti del primo biennio delle scuole medie, il secondo va bene se lo studente è in terza oppure nel biennio delle scuole superiori.
Ringraziano: Marcomo
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Os