Problema con angoli noti somma e rapporto

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#100827
avt
Marcomo
Punto
Ho un problema di geometria in cui mi viene chiesto di calcolare le ampiezze di due angoli, noti la loro somma e il loro rapporto.

2 angoli sono uno i (7)/(2) dell'altro e la loro somma è 135°. Calcolare la loro ampiezza.

Grazie mille, ciao Marco.
#100829
avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Marcomo!

Il problema può essere risolto seguendo due strade: usare la strategia risolutiva adatta ai problemi sui i segmenti con somma e rapporto, oppure rifarsi alla teoria dei sistemi lineari.

Mostreremo entrambi i metodi, però evidenziamo che il primo metodo va bene per il primo/secondo anno delle scuole medie, mentre il secondo è più adatto al terzo anno, o ancora al biennio delle superiori.


Metodo dei segmenti con somma e rapporto

Il nostro obiettivo prevede di determinare le ampiezze di due angoli A e B disponendo della loro somma

A+B = 135°

e del loro rapporto, sappiamo infatti che l'angolo A è i (7)/(2) di B:

A = (7)/(2) di B

Nota la somma A+B e il rapporto (numeratore)/(denominatore), possiamo tranquillamente usare le seguenti formule:

A = [(A+B):(numeratore+denominatore)]×numeratore =

dove nel gergo matematico [(A+B):(numeratore+denominatore)] individua la cosiddetta unità frazionaria.

= [135°:(7+2)]×7 = 135°:9×7 = 15°×7 = 105°

Per ricavare l'ampiezza del secondo angolo la formula da usare è:

 B = [(A+B):(numeratore+denominatore)]×denominatore = [135°:(7+2)]×2 = 135°:9×2 = 15°×2 = 30°

I due angoli misurano quindi

A = 105° , B = 30°


Sistemi lineari

Le condizioni

 A+B = 135° ; A = (7)/(2)B

costituiscono il sistema lineare

A+B = 135° ; A = (7)/(2)B

che può essere risolto tranquillamente con il metodo di sostituzione.

Sostituiamo A = (7)/(2)B nella prima equazione cosicché il sistema diventi

(7)/(2)B+B = 135° ; A = (7)/(2)B

dopodiché scriviamo la prima relazione in forma normale

 (7+2)/(2)B = 135° ; A = (7)/(2)B ; (9)/(2)B = 135° ; A = (7)/(2)B

A questo punto risolviamo l'equazione di primo grado nell'incognita B moltiplicando a destra e a sinistra per 2

 9B = 2×135° ; A = (7)/(2)B ; 9B = 270° ; A = (7)/(2)B

e dividendo in seguito per 9.

B = (270°)/(9) → B = 30° ; A = (7)/(2)B

Nota l'ampiezza di B, possiamo sostituirla nella seconda equazione e ricavare quella di A

B = 30° ; A = (7)/(2)×30° = (7×30°):2 = 210°:2 = 105°

Abbiamo finito! Le ampiezze degli angoli sono

A = 105° , B = 30°

Sottolineiamo ancora una volta che il primo metodo va bene per gli studenti del primo biennio delle scuole medie, il secondo va bene se lo studente è in terza oppure nel biennio delle scuole superiori.
Ringraziano: Marcomo
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