Dimostrare una proprietà distributiva degli insiemi
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Dimostrare una proprietà distributiva degli insiemi #100816
 xxautod Punto | Buongiorno come si potrebbe dimostrare in modo logicamente corretto e rigoroso la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione di insiemi?  Grazie e saluti |
Re: Dimostrare una proprietà distributiva degli insiemi #100817
 Ifrit Amministratore | Ciao xxautod, prima di dimostrare la proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione riportiamo alcune definizioni. Siano  due insiemi. Si definisce intersezione tra  e  l'insieme composto da tutti e soli gli elementi che appartengono sia ad sia a  dove  è il connettivo logico et.Si definisce unione tra e l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad oppure a . dove  è il connettivo logico oppure.Infine ricordiamo che due insiemi sono uguali se e solo se il primo è contenuto nel secondo e viceversa: Proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione Dati tre insiemi e  , allora sussiste la seguente uguaglianza insiemistica Dimostrazione Per dimostrare che l'insieme  sia uguale all'insieme  occorre verificare che ogni elemento del primo insieme sia anche un elemento del secondo, e viceversa.In termini più espliciti, mostreremo che:  Sia  . La definizione di intersezione ci permette di scrivere quanto segue: che, in forza della definizione di unione tra insieme, diventa  La proprietà distributiva del connettivo rispetto a garantisce che la precedente proposizione si può rielaborare nel modo seguente: Da  segue che  , mentre da segue che  , di conseguenza Questo dimostra che ogni elemento di è anche un elemento di , ossia è un sottoinsieme di . Per dimostrare che  consideriamo un elemento di e avvaliamoci delle definizioni di intersezione e di unione, grazie alle quali ricaviamo:  Usando ancora le proprietà dei connettivi logici, la proposizione si tramuta in:  Da questa segue che per cui  e dunque  Osservazione I più smaliziati avranno notato che la seconda parte della dimostrazione è praticamente la prima letta dalla fine all'inizio. Non è un caso! Tutte le implicazioni della prima dimostrazione sono in realtà un "se e solo se". |
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