Dimostrare una proprietà distributiva degli insiemi

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Dimostrare una proprietà distributiva degli insiemi #100816

avt
xxautod
Punto
Buongiorno

come si potrebbe dimostrare in modo logicamente corretto e rigoroso la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione di insiemi?

 A \cap(B\cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)

Grazie e saluti
 
 

Re: Dimostrare una proprietà distributiva degli insiemi #100817

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao xxautod,

prima di dimostrare la proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione riportiamo alcune definizioni.

Siano A,B due insiemi. Si definisce intersezione tra A e B l'insieme composto da tutti e soli gli elementi che appartengono sia ad A sia a B

A\cap B=\left\{x :\ x\in A\ \wedge \ x\in B\right\}

dove \wedge è il connettivo logico et.

Si definisce unione tra A e B l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad A oppure a B.

A\cup B=\{x : \ x\in A \ \vee \ x\in B\}

dove \vee è il connettivo logico oppure.

Infine ricordiamo che due insiemi A,B sono uguali se e solo se il primo è contenuto nel secondo e viceversa:

A=B\ \iff \ A\subseteq B \ \wedge \ B\subseteq A


Proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione

Dati tre insiemi A,B e C, allora sussiste la seguente uguaglianza insiemistica

A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)

Dimostrazione

Per dimostrare che l'insieme A\cap (B\cup C) sia uguale all'insieme (A\cap B)\cup (A\cap C) occorre verificare che ogni elemento del primo insieme sia anche un elemento del secondo, e viceversa.

In termini più espliciti, mostreremo che:

x\in A\cap (B\cup C) \ \iff \ x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)

Sia x\in A\cap(B\cup C). La definizione di intersezione ci permette di scrivere quanto segue:

x\in A \ \wedge \ x\in B\cup C

che, in forza della definizione di unione tra insieme, diventa

x\in A \ \wedge\ (x\in B \ \vee \ x\in C)

La proprietà distributiva del connettivo \wedge rispetto a \vee garantisce che la precedente proposizione si può rielaborare nel modo seguente:

\underbrace{\overbrace{(x\in A \ \wedge \ x\in B)}^{A\cap B} \ \vee \ \overbrace{(x\in A\ \wedge\ x\in C)}^{A\cap C}}_{(A\cap B)\cup (A\cap C)}

Da x\in A\ \wedge \ x\in B segue che x\in A\cap B, mentre da x\in A\ \wedge \ x\in B segue che x\in A\cap C, di conseguenza

x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)

Questo dimostra che ogni elemento di A\cap (B\cup C) è anche un elemento di (A\cap B)\cup (A\cap C), ossia A\cap(B\cup C) è un sottoinsieme di (A\cap B)\cup (A\cap C).

A\cap(B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup (A\cap C)

Per dimostrare che

(A\cap B)\cup (A\cap C)\subseteq A\cap(B\cup C)

consideriamo un elemento di (A\cap B)\cup (A\cap C)

x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)

e avvaliamoci delle definizioni di intersezione e di unione, grazie alle quali ricaviamo:

\\ x\in (A\cap B)\ \vee \ x\in (A\cap C) \\ \\ \mbox{ossia} \\ \\ (x\in A \ \wedge \ x\in B) \ \vee \ (x\in A\ \wedge \ x\in C)

Usando ancora le proprietà dei connettivi logici, la proposizione si tramuta in:

\underbrace{x\in A \ \wedge\ \overbrace{(x\in B \ \vee \ x\in C)}^{B\cup C}}_{A\cap (B\cup C)}

Da questa segue che x\in A\cap (B\cup C) per cui

(A\cap B)\cup (A\cap C)\subseteq A\cap (B\cup C)

e dunque

A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)


Osservazione

I più smaliziati avranno notato che la seconda parte della dimostrazione è praticamente la prima letta dalla fine all'inizio. Non è un caso! Tutte le implicazioni della prima dimostrazione sono in realtà un "se e solo se".
Ringraziano: xxautod
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Os