Equazione goniometrica con seno di 2x, 3x, 4x

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Equazione goniometrica con seno di 2x, 3x, 4x #100798

avt
xxautod
Punto
Devo risolvere questa equazione goniometrica con il seno di 2x, di 3x e di 4x. Come posso procedere?

\sin(2x)+\sin(3x)+\sin(4x)=0

Grazie e saluti
 
 

Equazione goniometrica con seno di 2x, 3x, 4x #100800

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao xxautod,

il modo più semplice per ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica

\sin(2x)+\sin(3x)+\sin(4x)=0

prevede l'uso delle formule di prostaferesi per la somma di seni

\sin(p)+\sin(q)=2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right) \ \ \ \forall p,q\in\mathbb{R}

Per p=4x e q=2x otteniamo infatti l'uguaglianza

\\ \sin(4x)+\sin(2x)=2\sin\left(\frac{4x+2x}{2}\right)\cos\left(\frac{4x-2x}{2}\right)= \\ \\ \\ =2\sin(3x)\cos(x) \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

grazie alla quale l'equazione

\\ \sin(2x)+\sin(3x)+\sin(4x)=0 \\ \\ \overbrace{\sin(4x)+\sin(2x)}^{2\sin(3x)\cos(x)}+\sin(3x)=0

diventa

2\sin(3x)\cos(x)+\sin(3x)=0

Raccogliamo il fattore comune \sin(3x)

\sin(3x)[2\cos(x)+1]=0

e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto: il prodotto al primo membro è zero se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo, vale a dire

\sin(3x)=0 \ \ \vee \ \ 2\cos(x)+1=0

Ci siamo ricondotti a due equazioni goniometriche elementari, la prima delle quali è soddisfatta nel momento in cui l'argomento del seno è uguale k\pi, al variare di k\in\mathbb{Z}

\sin(3x)=0 \ \ \to \ \ 3x=k\pi \ \ \to \ \ x=k\cdot\frac{\pi}{3}

con k\in\mathbb{Z}.

La seconda richiede qualche passaggio algebrico in più perché dobbiamo isolare il coseno al primo membro.

\\ 2\cos(x)+1=0\\ \\ \cos(x)=-\frac{1}{2}

Tenendo a mente i valori notevoli delle funzioni goniometriche, l'equazione precedente è soddisfatta nel momento in cui l'argomento del coseno è uguale a -\frac{2\pi}{3}+2h\pi oppure a \frac{2\pi}{3}+2h\pi dove h\in\mathbb{Z}.

x=-\frac{2\pi}{3}+2h\pi \ \ \vee \ \ x=\frac{2\pi}{3}+2h\pi

In definitiva le soluzioni dell'equazione costituiscono le seguenti famiglie

\begin{array}{ll}x=k\cdot\dfrac{\pi}{3}& \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\\ \\ \\ x=-\dfrac{2\pi}{3}+2h\pi &\mbox{con}\ h\in\mathbb{Z}\\ \\ \\ x=\dfrac{2\pi}{3}+2h\pi & \mbox{con}\ h\in\mathbb{Z}\end{array}


Osservazione: soluzioni in forma compatta

Si noti che le famiglie di soluzioni

\\ x=-\frac{2\pi}{3}+2h\pi\\ \\ \\ x=\frac{2\pi}{3}+2h\pi

possono essere inglobate in x=k\cdot\frac{\pi}{3}, infatti se le rielaboriamo come segue

\\ x=-\frac{2\pi}{3}+2h\pi=(6h-2)\cdot\frac{\pi}{3}\\ \\ \\ x=\frac{2\pi}{3}+2h\pi=(2+6h)\cdot\frac{\pi}{3}

si evince che

(6h-2)\cdot\frac{\pi}{3}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ (2+6h)\cdot\frac{\pi}{3}

sono entrambi multipli di \frac{\pi}{3} con coefficienti moltiplicativi interi (sia 6h-2 che 2+6h sono interi al variare di h\in\mathbb{Z}).

Queste considerazioni garantiscono il fatto che tutte le soluzioni sono della forma x=k\cdot\frac{\pi}{3} con k\in\mathbb{Z}.
Ringraziano: Omega, xxautod
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Os