Equazione goniometrica con seno di 2x, 3x, 4x

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Equazione goniometrica con seno di 2x, 3x, 4x #100798

avt
xxautod
Punto
Devo risolvere questa equazione goniometrica con il seno di 2x, di 3x e di 4x. Come posso procedere?

sin(2x)+sin(3x)+sin(4x) = 0

Grazie e saluti
 
 

Equazione goniometrica con seno di 2x, 3x, 4x #100800

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao xxautod,

il modo più semplice per ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica

sin(2x)+sin(3x)+sin(4x) = 0

prevede l'uso delle formule di prostaferesi per la somma di seni

sin(p)+sin(q) = 2sin((p+q)/(2))cos((p-q)/(2)) ∀ p,q∈R

Per p = 4x e q = 2x otteniamo infatti l'uguaglianza

sin(4x)+sin(2x) = 2sin((4x+2x)/(2))cos((4x-2x)/(2)) = 2sin(3x)cos(x) ∀ x∈R

grazie alla quale l'equazione

sin(2x)+sin(3x)+sin(4x) = 0 ; sin(4x)+sin(2x) (2sin(3x)cos(x))+sin(3x) = 0

diventa

2sin(3x)cos(x)+sin(3x) = 0

Raccogliamo il fattore comune sin(3x)

sin(3x)[2cos(x)+1] = 0

e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto: il prodotto al primo membro è zero se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo, vale a dire

sin(3x) = 0 ∨ 2cos(x)+1 = 0

Ci siamo ricondotti a due equazioni goniometriche elementari, la prima delle quali è soddisfatta nel momento in cui l'argomento del seno è uguale kπ, al variare di k∈Z

sin(3x) = 0 → 3x = kπ → x = k·(π)/(3)

con k∈Z.

La seconda richiede qualche passaggio algebrico in più perché dobbiamo isolare il coseno al primo membro.

2cos(x)+1 = 0 ; cos(x) = -(1)/(2)

Tenendo a mente i valori notevoli delle funzioni goniometriche, l'equazione precedente è soddisfatta nel momento in cui l'argomento del coseno è uguale a -(2π)/(3)+2hπ oppure a (2π)/(3)+2hπ dove h∈Z.

x = -(2π)/(3)+2hπ ∨ x = (2π)/(3)+2hπ

In definitiva le soluzioni dell'equazione costituiscono le seguenti famiglie

beginarrayllx = k·(π)/(3) con k∈Z ; x = -(2π)/(3)+2hπ con h∈Z ; x = (2π)/(3)+2hπ con h∈Z endarray


Osservazione: soluzioni in forma compatta

Si noti che le famiglie di soluzioni

x = -(2π)/(3)+2hπ ; x = (2π)/(3)+2hπ

possono essere inglobate in x = k·(π)/(3), infatti se le rielaboriamo come segue

x = -(2π)/(3)+2hπ = (6h-2)·(π)/(3) ; x = (2π)/(3)+2hπ = (2+6h)·(π)/(3)

si evince che

(6h-2)·(π)/(3) e (2+6h)·(π)/(3)

sono entrambi multipli di (π)/(3) con coefficienti moltiplicativi interi (sia 6h-2 che 2+6h sono interi al variare di h∈Z).

Queste considerazioni garantiscono il fatto che tutte le soluzioni sono della forma x = k·(π)/(3) con k∈Z.
Ringraziano: Omega, xxautod
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Os