Disequazione con radice e valore assoluto

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Disequazione con radice e valore assoluto #100692

avt
xxautod
Punto
Buongiorno, sono in difficoltà nel risolvere questa disequazione fratta con radice e valore assoluto:

\frac{\sqrt{x^2-1}-x-2}{|x-1|}<0

Grazie e saluti.
 
 

Re: Disequazione con radice e valore assoluto #100696

avt
Galois
Amministratore
Per risolvere la disequazione fratta

\frac{\sqrt{x^2-1}-x-2}{|x-1|}<0

troviamo dapprima le condizioni di esistenza, di cui dobbiamo tener conto quando scriveremo le soluzioni finali.

Nella disequazione appare una radice quadrata e un denominatore, dunque imponiamo che l'argomento della radice sia maggiore o uguale a zero e che il denominatore sia non nullo

\mbox{C.E.} \ \begin{cases}x^2-1 \ge 0 \\ |x-1| \neq 0\end{cases}

Le soluzioni della disequazione di secondo grado

x^2-1 \ge 0

sono

x \le -1 \ \vee \ x \ge 1

mentre la condizione

|x-1| \neq 0

è soddisfatta se è diverso da zero l'argomento del valore assoluto, dunque dev'essere

x \neq 1

Tornando alle condizioni d'esistenza ricadiamo nel sistema

\mbox{C.E.} \ \begin{cases}x \le -1 \ \vee \ x \ge 1 \\ x \neq 1\end{cases}

le cui soluzioni sono

x \le -1 \ \vee \ x>1


Procediamo ora alla risoluzione vera e propria della disequazione

\frac{\sqrt{x^2-1}-x-2}{|x-1|}<0

studiando, separatamente, i segni di numeratore e denominatore.


Studio del segno del numeratore

\sqrt{x^2-1}-x-2>0

portiamo i termini che non sono sotto radice a secondo membro

\sqrt{x^2-1}>x+2

Siamo così ricaduti in una disequazione irrazionale della forma

\sqrt{f(x)}>g(x)

con f(x)=x^2-1 \ ; \ g(x)=x+2

che è equivalente all'unione dei sistemi di disequazioni

\begin{cases}f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) > [g(x)]^2 \end{cases} \bigcup \ \ \begin{cases}f(x) \ge 0 \\ g(x)<0\end{cases}

ossia

\begin{cases}x^2-1 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \\ x^2-1 > (x+2)^2 \end{cases} \bigcup \ \ \begin{cases}x^2-1 \ge 0 \\ x+2<0\end{cases}

Risolviamo separatamente ciascun sistema, per poi unirne le soluzioni.

\begin{cases}x^2-1 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \\ x^2-1 > (x+2)^2 \end{cases}

La prima disequazione l'abbiamo già risolta durante il calcolo delle condizioni di esistenza

x^2-1 \ge 0 \ \to \ x\le -1 \ \vee \ x \ge 1

La seconda è una semplice disequazione di primo grado

x+2 \ge 0 \ \to \ x\ge -2

Risolviamo la terza

x^2-1 > (x+2)^2

Sviluppiamo il quadrato di binomio a secondo membro

x^2-1 > x^2+4x+4

Portiamo le incognite a primo membro, i termini noti a secondo membro, e sommiamo i termini simili

\\ x^2-x^2-4x>4+1 \\ \\ -4x>5

Dividiamo per il coefficiente moltiplicativo della x. Essendo negativo dobbiamo ricordare di cambiare il verso della disequazione.

x<-\frac{5}{4}

Ricomponiamo il sistema sostituendo ogni disequazione con le relative soluzioni

\begin{cases}x^2-1 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \\ x^2-1 > (x+2)^2 \end{cases} \ \to \ \begin{cases}x \le -1 \ \vee \ x\ge 1 \\ x\ge 2 \\ x<-\frac{5}{4}\end{cases}

Le tre disequazioni sono contemporaneamente soddisfatte per

-2 \le x < -\frac{5}{4}

e il primo sistema è andato. Passiamo al secondo

\begin{cases}x^2-1 \ge 0 \\ x+2<0\end{cases} \ \to \ \begin{cases}x \le -1 \ \vee \ x \ge 1 \\ x<-2\end{cases}

che è verificato per x<-2.

Unendo le soluzioni dei due sistemi concludiamo che la disequazione irrazionale

\sqrt{x^2-1}>x+2

è soddisfatta per

x<-\frac{5}{4}

dunque per tali valori di x il numeratore della disequazione iniziale è positivo.


Studio del segno del denominatore

|x-1|>0

è una semplicissima disequazione con valore assoluto, soddisfatta per ogni valore di x \in \mathbb{R} ad eccezione di x=1, che è il valore che annulla l'argomento del valore assoluto.

In definitiva il denominatore è positivo per ogni x \in \mathbb{R}-\{1\}


Soluzioni della disequazione fratta

Per risalire alle soluzioni della disequazione assegnata basta studiare il segno del rapporto tra numeratore e denominatore avvalendoci della cosiddetta tabella dei segni.

\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}-x-2&:& +++&\left(-\dfrac{5}{4}\right)&---&(1)&--- \\ \\ |x-1|&:& +++&\left(-\dfrac{5}{4}\right)&+++&(1)&+++\\ \\ \dfrac{\sqrt{x^2-1}-x-2}{|x-1|}&:&+++&\left(-\dfrac{5}{4}\right)&---&(1)&---\end{matrix}

A noi interessano i valori di x per cui

\frac{\sqrt{x^2-1}-x-2}{|x-1|}

è negativa, e che corrispondono ai segni meno dell'ultima riga della tabella dei segni. Non dobbiamo però dimenticarci delle condizioni di esistenza

\mbox{C.E.}: \ x \le -1 \ \vee \ x>1

Cosicché le soluzioni della disequazione in esame sono

-\frac{5}{4}<x\le-1 \ \vee \ x>1

che possiamo esprimere sotto forma di unione di intervalli come

x \in \left(-\frac{5}{4},-1\right] \cup (1,+\infty)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Ifrit, xxautod
  • Pagina:
  • 1
Os