Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica

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Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica #100678

avt
jackbd
Punto
Il mio quesito è: studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica

Σ_(n = 0)^(+∞)(-1)^n(2+n^5)/(2+n^6)

Sono partito dal discorso che si tratta di una serie a segni alterni ed ho provato con il criterio di Leibniz

Imposto a_n = (2+n^5)/(2+n^6) e verifichiamo che

lim_(n → ∞)an = 0

e qui non ci sono problemi metto in evidenza n elevato a 5 e a 6 e mi ritrovo 1 su infinito che è uguale a 0.

Passo successivo

a_n > 0 con n > 0

Direi che questa è verificata se il numeratore è diversa da zero per ogni valore n >0, quindi sempre

3 passo

a_(n+1) < a_(n) ∀ n

Qui mi impicco ...
 
 

Re: Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica #100682

avt
Ifrit
Amministratore
Ci viene chiesto di studiare la serie a segni alterni

Σ_(n = 0)^(+∞)(-1)^(n)(2+n^5)/(2+n^6)

In particolare dovremo esaminare la convergenza semplice e la convergenza assoluta della serie.


Studio della convergenza assoluta

Iniziamo dallo studio della convergenza assoluta, considerando la serie dei valori assoluti

Σ_(n = 0)^(+∞)|(-1)^(n)(2+n^5)/(2+n^6)| =

che, in virtù delle proprietà del modulo, diventa

= Σ_(n = 0)^(+∞)(2+n^(5))/(2+n^(6))

Abbiamo chiaramente ottenuto una serie a termini positivi, infatti il termine generale

a_(n) = (2+n^5)/(2+n^6)

è positivo per ogni numero naturale n: a_n è chiaramente il rapporto tra due quantità positive.

Notiamo inoltre che è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza: a_n è infinitesimo per n → +∞. Verifichiamolo.

Consideriamo il limite del termine generale per n → +∞

lim_(n → +∞)a_n = lim_(n → +∞)(2+n^5)/(2+n^6) =

Esso genera la forma di indecisione (∞)/(∞) che possiamo risolvere mettendo in evidenza i monomi con l'esponente maggiore sia al numeratore che al denominatore

= lim_(n → +∞)(n^(5)(1+(2)/(n^5)))/(n^6(1+(2)/(n^6))) =

Semplifichiamo n^(5) con n^6

= lim_(n → +∞)(1+(2)/(n^5))/(n(1+(2)/(n^6))) =

e spezziamo il limite del prodotto nel prodotto dei limiti

= lim_(n → +∞)(1)/(n)·lim_(n → +∞)(1+(2)/(n^5))/(1+(2)/(n^6)) =

Il primo limite è chiaramente uguale a zero; il secondo è invece pari a 1 perché (2)/(n^5) e (2)/(n^6) sono infinitesimi per n → +∞

= 0·1 = 0

La condizione necessaria per la convergenza è verificata.

Tra i vari metodi e criteri per la convergenza quello più comodo è senza dubbio il criterio del confronto asintotico.

Prima di tutto occorre determinare una successione asintoticamente equivalente ad a_n.

Basta notare che n → +∞

2+n^5 ~ n^5 ; 2+n^6 ~ n^(6)

pertanto

(2+n^5)/(2+n^6) ~ (n^5)/(n^6) = (1)/(n)

In accordo con il criterio del confronto asintotico, possiamo affermare che

Σ_(n = 0)^(+∞)(2+n^5)/(2+n^6)

ha il medesimo comportamento della serie armonica

Σ_(n = 1)^(+∞)(1)/(n)

che sappiamo già essere divergente positivamente.

Possiamo trarre le prime conclusioni:

Σ_(n = 0)^(+∞)(2+n^5)/(2+n^6)

diverge positivamente, per cui

Σ_(n = 0)^(+∞)(-1)^(n)(2+n^5)/(2+n^6)

non converge assolutamente.


Convergenza semplice della serie

Studiamo la convergenza assoluta di

Σ_(n = 0)^(+∞)(-1)^(n)(2+n^5)/(2+n^6)

usando il criterio di Leibniz.

Posto a_n = (2+n^5)/(2+n^6), dovremo verificare che a_n è positiva, decrescente e infinitesima.

Abbiamo già dimostrato che a_n è positiva e infinitesima: l'unica cosa da fare è stabilire se (a_n) è una successione strettamente decrescente oppure no.

Prima di procedere con i calcoli, mettiamo subito in chiaro che il criterio di Leibniz può essere applicato anche nel caso in cui la successione è definitivamente decrescente: ciò equivale a richiedere l'esistenza di un indice n_0∈N dopo del quale:

a_(n+1) < a_n ∀ n > n_0

Purtroppo la relazione

a_(n+1) < a_n

si tramuta in

(2+(1+n)^5)/(2+(1+n)^6) < (2+n^5)/(2+n^6)

che è disequazione tutt'altro che banale.

Non disperiamoci e consideriamo

a_(n+1)-a_(n) → (2+(n+1)^5)/(2+(n+1)^(6))-(2+n^(5))/(2+n^6)

L'obiettivo è quello di dimostrare che esiste un indice n_(0)∈N dopo del quale la differenza è negativa, ma prima qualche passaggio algebrico in grado di migliorare l'estetica dell'espressione!

(2+(n+1)^5)/(2+(n+1)^(6))-(2+n^(5))/(2+n^6) = ([(n+1)^5+2]·(n^6+2)-(n^5+2)[(n+1)^6+2])/([(n+1)^(6)+2](n^6+2)) = ((n+1)^5(n^6+2)+2(n^6+2)-(n^5+2)(n+1)^6-2(n^5+2))/([(n+1)^(6)+2](n^6+2)) =

Raccogliamo parzialmente (n+1)^5 e -2

= ((n+1)^(5)[n^6+2-(n^5+2)(n+1)]-2[n^5+2-n^6-2])/([(n+1)^(6)+2](n^6+2)) =

e svolgiamo i calcoli all'interno delle parentesi quadre

= ((n+1)^(5)[-n^5-2n]-2[n^5-n^6])/([(n+1)^(6)+2](n^6+2))

Deduciamo quindi che:

a_(n+1)-a_(n) = ((n+1)^(5)[-n^5-2n]-2[n^5-n^6])/([(n+1)^(6)+2](n^6+2))

L'espressione analitica della differenza è ancora molto elaborata, ma sufficientemente semplice per i nostri scopi.

Poiché [(n+1)^6+2](n^6+2) è certamente positivo (è prodotto di fattori positivi), il segno di a_(n+1)-a_(n) dipende esclusivamente da quello del numeratore

(n+1)^5[-n^5-2n]-2[n^5-n^6]

Lo studio del segno classico è fuori discussione: la disequazione che ne scaturisce non è elementare, però possiamo usare il teorema della permanenza del segno per successioni.

Per n → +∞

• (n+1)^5 ~ n^5 ; • -n^5-2n ~ -n^5

per cui

(n+1)^(5)[-n^5-2n] ~ n^5·(-n^5) = -n^(10)

Alla luce di ciò, il confronto tra gli infiniti ci permette di affermare che:

lim_(n → +∞)[(n+1)^(5)[-n^5-2n]-2[n^5-n^6]] = lim_(n → +∞)[-n^(10)-2[n^5-n^6]] = -∞

Dalla negatività del limite segue che esiste n_0∈N tale che

(n+1)^(5)[-n^5-2n]-2[n^5-n^6] < 0 ∀ n > n_0

pertanto

a_(n+1)-a_n < 0 → a_(n+1) < a_n ∀ n > n_0

Abbiamo dimostrato che la successione (a_n) è definitivamente decrescente e ciò basta per applicare il criterio di Leibniz, il quale garantisce la convergenza semplice della serie

Σ_(n = 0)^(+∞)(-1)^(n)(2+n^5)/(2+n^6)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois

Re: Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica #100689

avt
jackbd
Punto
Esiste un'alternativa in questo caso all'utilizzo del teorema della permanenza dei segni?

Re: Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica #100694

avt
Galois
Amministratore
Un'altra possibile strategia risolutiva consiste nel considerare la funzione associata a (a_n)_(n∈N)

f(x) = (2+x^5)/(2+x^6) per x ≥ 0

Se dimostreremo che f(x) è una funzione strettamente decrescente in un intorno di +∞, lo sarà anche (a_n)_(n∈N), almeno definitivamente (da un certo indice in poi).

Dal punto di vista teorico, potremmo studiare la monotonia di f(x), calcolando la derivata e studiando il segno di quest'ultima.

C'è solo un piccolo problema: l'espressione analitica di f'(x) non consente di studiare il suo segno in maniera elementare.

Non tutto è perduto! Possiamo rielaborare f(x) distribuendo il denominatore a ciascun addendo del numeratore:

f(x) = (2)/(2+x^6)+(x^5)/(2+x^6)

Se riusciamo a dimostrare che

g(x) = (2)/(2+x^6) e h(x) = (x^5)/(2+x^6)

sono entrambe funzioni decrescenti, lo sarà anche f(x) (è somma di funzioni decrescenti).

g(x) è chiaramente decrescente: all'aumentare di x > 0 aumenta il denominatore, per cui il rapporto diventa via via più piccolo.

Per quanto riguarda h(x), possiamo calcolare la sua derivata prima con le solite tecniche di derivazione.

h'(x) = (d)/(dx)[(x^5)/(2+x^6)] = ((d)/(dx)[x^5]·(2+x^6)-x^5·(d)/(dx)[2+x^6])/((2+x^6)^2) = (5x^4(2+x^6)-x^5·6x^5)/((2+x^6)^2) = (x^4[10+5x^6-6x^6])/((2+x^6)^2) = (x^4[10-x^6])/((2+x^6)^2)

La derivata prima di h(x) è quindi:

h'(x) = (x^4[10-x^6])/((2+x^6)^2)

Avviamo lo studio del segno notando che:

• x^4 è positiva per ogni x > 0;

• (2+x^6)^2 è positiva per ogni x > 0;

perciò h'(x) ha il medesimo segno di 10-x^6. Risolviamo la disequazione pura di sesto grado

10-x^6 > 0 → -[6]√(10) < x < [6]√(10)

Deduciamo che per x > [6]√(10), la derivata prima di h(x) è certamente negativa, conseguentemente h(x) è decrescente in ([6]√(10),+∞).

Queste considerazioni ci permettono di concludere che f(x) è una funzione decrescente in ([6]√(10),+∞), perché somma di funzioni decrescenti, inoltre

a_(n+1) = f(n+1) < f(n) = a_n ∀ n∈N, n > [6]√(10)

Ciò dimostra che (a_(n))_(n∈N) è una successione definitivamente decrescente.
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