Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica

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Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica #100678

avt
jackbd
Punto
Il mio quesito è: studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica

\sum_{n=0}^{+\infty}\left(-1\right)^n\frac{2+n^5}{2+n^6}

Sono partito dal discorso che si tratta di una serie a segni alterni ed ho provato con il criterio di Leibniz

Imposto a_n = \frac{2+n^5}{2+n^6} e verifichiamo che

\lim_{n\to\infty}{an} =0

e qui non ci sono problemi metto in evidenza n elevato a 5 e a 6 e mi ritrovo 1 su infinito che è uguale a 0.

Passo successivo

a_n >0 \ \ \ \mbox{con} \ n>0

Direi che questa è verificata se il numeratore è diversa da zero per ogni valore n >0, quindi sempre

3 passo

a_{n+1} < a_{n} \ \ \ \forall n

Qui mi impicco ...
 
 

Re: Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica #100682

avt
Ifrit
Amministratore
Ci viene chiesto di studiare la serie a segni alterni

\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{2+n^5}{2+n^6}

In particolare dovremo esaminare la convergenza semplice e la convergenza assoluta della serie.


Studio della convergenza assoluta

Iniziamo dallo studio della convergenza assoluta, considerando la serie dei valori assoluti

\sum_{n=0}^{+\infty}\left|(-1)^{n}\frac{2+n^5}{2+n^6}\right|=

che, in virtù delle proprietà del modulo, diventa

=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2+n^{5}}{2+n^{6}}

Abbiamo chiaramente ottenuto una serie a termini positivi, infatti il termine generale

a_{n}=\frac{2+n^5}{2+n^6}

è positivo per ogni numero naturale n: a_n è chiaramente il rapporto tra due quantità positive.

Notiamo inoltre che è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza: a_n è infinitesimo per n\to+\infty. Verifichiamolo.

Consideriamo il limite del termine generale per n\to +\infty

\lim_{n\to +\infty}a_n=\lim_{n\to +\infty}\frac{2+n^5}{2+n^6}=

Esso genera la forma di indecisione \frac{\infty}{\infty} che possiamo risolvere mettendo in evidenza i monomi con l'esponente maggiore sia al numeratore che al denominatore

=\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{5}\left(1+\frac{2}{n^5}\right)}{n^6\left(1+\frac{2}{n^6}\right)}=

Semplifichiamo n^{5} con n^6

=\lim_{n\to+\infty}\frac{1+\frac{2}{n^5}}{n\left(1+\frac{2}{n^6}\right)}=

e spezziamo il limite del prodotto nel prodotto dei limiti

=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim_{n\to+\infty}\frac{1+\frac{2}{n^5}}{1+\frac{2}{n^6}}=

Il primo limite è chiaramente uguale a zero; il secondo è invece pari a 1 perché \frac{2}{n^5}\ \mbox{e} \ \frac{2}{n^6} sono infinitesimi per n\to+\infty

=0\cdot 1=0

La condizione necessaria per la convergenza è verificata.

Tra i vari metodi e criteri per la convergenza quello più comodo è senza dubbio il criterio del confronto asintotico.

Prima di tutto occorre determinare una successione asintoticamente equivalente ad a_n.

Basta notare che n\to +\infty

\\ 2+n^5\sim n^5 \\ \\ 2+n^6\sim n^{6}

pertanto

\frac{2+n^5}{2+n^6}\sim\frac{n^5}{n^6}=\frac{1}{n}

In accordo con il criterio del confronto asintotico, possiamo affermare che

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2+n^5}{2+n^6}

ha il medesimo comportamento della serie armonica

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}

che sappiamo già essere divergente positivamente.

Possiamo trarre le prime conclusioni:

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2+n^5}{2+n^6}

diverge positivamente, per cui

\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{2+n^5}{2+n^6}

non converge assolutamente.


Convergenza semplice della serie

Studiamo la convergenza assoluta di

\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{2+n^5}{2+n^6}

usando il criterio di Leibniz.

Posto a_n=\frac{2+n^5}{2+n^6}, dovremo verificare che a_n è positiva, decrescente e infinitesima.

Abbiamo già dimostrato che a_n è positiva e infinitesima: l'unica cosa da fare è stabilire se (a_n) è una successione strettamente decrescente oppure no.

Prima di procedere con i calcoli, mettiamo subito in chiaro che il criterio di Leibniz può essere applicato anche nel caso in cui la successione è definitivamente decrescente: ciò equivale a richiedere l'esistenza di un indice n_0\in\mathbb{N} dopo del quale:

a_{n+1}<a_n \ \ \ \forall n>n_0

Purtroppo la relazione

a_{n+1}<a_n

si tramuta in

\frac{2+(1+n)^5}{2+(1+n)^6}<\frac{2+n^5}{2+n^6}

che è disequazione tutt'altro che banale.

Non disperiamoci e consideriamo

a_{n+1}-a_{n} \ \ \ \to \ \ \ \frac{2+(n+1)^5}{2+(n+1)^{6}}-\frac{2+n^{5}}{2+n^6}

L'obiettivo è quello di dimostrare che esiste un indice n_{0}\in\mathbb{N} dopo del quale la differenza è negativa, ma prima qualche passaggio algebrico in grado di migliorare l'estetica dell'espressione!

\\ \frac{2+(n+1)^5}{2+(n+1)^{6}}-\frac{2+n^{5}}{2+n^6}=\\ \\ \\ =\frac{[(n+1)^5+2]\cdot(n^6+2)-(n^5+2)[(n+1)^6+2]}{[(n+1)^{6}+2](n^6+2)}=\\ \\ \\ =\frac{(n+1)^5(n^6+2)+2(n^6+2)-(n^5+2)(n+1)^6-2(n^5+2)}{[(n+1)^{6}+2](n^6+2)}=

Raccogliamo parzialmente (n+1)^5 e -2

=\frac{(n+1)^{5}[n^6+2-(n^5+2)(n+1)]-2[n^5+2-n^6-2]}{[(n+1)^{6}+2](n^6+2)}=

e svolgiamo i calcoli all'interno delle parentesi quadre

=\frac{(n+1)^{5}[-n^5-2n]-2[n^5-n^6]}{[(n+1)^{6}+2](n^6+2)}

Deduciamo quindi che:

a_{n+1}-a_{n}=\frac{(n+1)^{5}[-n^5-2n]-2[n^5-n^6]}{[(n+1)^{6}+2](n^6+2)}

L'espressione analitica della differenza è ancora molto elaborata, ma sufficientemente semplice per i nostri scopi.

Poiché [(n+1)^6+2](n^6+2) è certamente positivo (è prodotto di fattori positivi), il segno di a_{n+1}-a_{n} dipende esclusivamente da quello del numeratore

(n+1)^5[-n^5-2n]-2[n^5-n^6]

Lo studio del segno classico è fuori discussione: la disequazione che ne scaturisce non è elementare, però possiamo usare il teorema della permanenza del segno per successioni.

Per n\to +\infty

\\ \bullet \ \ \ (n+1)^5\sim n^5 \\ \\ \bullet \ \ \ -n^5-2n\sim -n^5

per cui

(n+1)^{5}[-n^5-2n]\sim n^5\cdot(-n^5)=-n^{10}

Alla luce di ciò, il confronto tra gli infiniti ci permette di affermare che:

\\ \lim_{n\to +\infty}[(n+1)^{5}[-n^5-2n]-2[n^5-n^6]]=\\ \\ \\ =\lim_{n\to +\infty}[-n^{10}-2[n^5-n^6]]=-\infty

Dalla negatività del limite segue che esiste n_0\in\mathbb{N} tale che

(n+1)^{5}[-n^5-2n]-2[n^5-n^6]<0\ \ \ \forall n>n_0

pertanto

a_{n+1}-a_n<0 \ \ \to \ \ \ a_{n+1}<a_n \ \ \ \forall n>n_0

Abbiamo dimostrato che la successione (a_n) è definitivamente decrescente e ciò basta per applicare il criterio di Leibniz, il quale garantisce la convergenza semplice della serie

\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{2+n^5}{2+n^6}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois

Re: Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica #100689

avt
jackbd
Punto
Esiste un'alternativa in questo caso all'utilizzo del teorema della permanenza dei segni?

Re: Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie numerica #100694

avt
Galois
Amministratore
Un'altra possibile strategia risolutiva consiste nel considerare la funzione associata a (a_n)_{n\in\mathbb{N}}

f(x)=\frac{2+x^5}{2+x^6} \ \ \ \mbox{per} \ x\ge 0

Se dimostreremo che f(x) è una funzione strettamente decrescente in un intorno di +\infty, lo sarà anche (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, almeno definitivamente (da un certo indice in poi).

Dal punto di vista teorico, potremmo studiare la monotonia di f(x), calcolando la derivata e studiando il segno di quest'ultima.

C'è solo un piccolo problema: l'espressione analitica di f'(x) non consente di studiare il suo segno in maniera elementare.

Non tutto è perduto! Possiamo rielaborare f(x) distribuendo il denominatore a ciascun addendo del numeratore:

f(x)=\frac{2}{2+x^6}+\frac{x^5}{2+x^6}

Se riusciamo a dimostrare che

g(x)=\frac{2}{2+x^6}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ h(x)=\frac{x^5}{2+x^6}

sono entrambe funzioni decrescenti, lo sarà anche f(x) (è somma di funzioni decrescenti).

g(x) è chiaramente decrescente: all'aumentare di x>0 aumenta il denominatore, per cui il rapporto diventa via via più piccolo.

Per quanto riguarda h(x), possiamo calcolare la sua derivata prima con le solite tecniche di derivazione.

\\ h'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{x^5}{2+x^6}\right]=\\ \\ \\ =\frac{\dfrac{d}{dx}[x^5]\cdot (2+x^6)-x^5\cdot\dfrac{d}{dx}[2+x^6]}{(2+x^6)^2}=\\ \\ \\ =\frac{5x^4(2+x^6)-x^5\cdot 6x^5}{(2+x^6)^2}=\\ \\ \\ =\frac{x^4\left[10+5x^6-6x^6\right]}{(2+x^6)^2}=\\ \\ \\ =\frac{x^4\left[10-x^6\right]}{(2+x^6)^2}

La derivata prima di h(x) è quindi:

h'(x)=\frac{x^4[10-x^6]}{(2+x^6)^2}

Avviamo lo studio del segno notando che:

\bullet \ \ \ x^4 è positiva per ogni x>0;

\bullet \ \ \ (2+x^6)^2 è positiva per ogni x>0;

perciò h'(x) ha il medesimo segno di 10-x^6. Risolviamo la disequazione pura di sesto grado

10-x^6>0 \ \ \ \to \ \ \ -\sqrt[6]{10}<x<\sqrt[6]{10}

Deduciamo che per x>\sqrt[6]{10}, la derivata prima di h(x) è certamente negativa, conseguentemente h(x) è decrescente in (\sqrt[6]{10},+\infty).

Queste considerazioni ci permettono di concludere che f(x) è una funzione decrescente in (\sqrt[6]{10},+\infty), perché somma di funzioni decrescenti, inoltre

a_{n+1}=f(n+1)<f(n)=a_n \ \ \ \forall n\in\mathbb{N}, n>\sqrt[6]{10}

Ciò dimostra che (a_{n})_{n\in\mathbb{N}} è una successione definitivamente decrescente.
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