Trovare dy/dx data 3x^2-5xy+2y^2=6

Testo del quesito: "Trovare data . Suggerimento: considerare y come funzione di x"

Questo è un esercizio a risposta multipla.
La risposta corretta è .

Tra le risposte errate viene riportata
.

1. In primo luogo, vorrei comprendere la corretta lettura di riportata nel testo dell'esercizio che, data la risposta corretta, non mi sembra che esprima la semplice derivata di y rispetto ad x.

2. Esprimere y in funzione di x significa riscrivere l'espressione come ...ma resta x nel termine 5xy...

3. Guardando la soluzione pare che la derivata sia una frazione con (a) Numeratore - derivata rispetto ad x (b) Denominatore - derivata rispetto ad y quando -5xy+2y^2 sono "portati" al membro di destra. Ma che senso ha e come distinguerla dalla risposta errata che presenta al denominatore la derivata rispetto ad y quando i termini sono derivati nel membro di sinistro?

Potete gentilmente aiutarmi a chiarire cosa di fatto viene richiesto ed il relativo corretto svolgimento?

Grazie infinite!

Ciao Elenacara,

prima di dedicarci al problema, ho bisogno di sapere se conosci il teorema del Dini sulle funzioni implicite: lo avete fatto a lezione?

Grazie mille.

No, non e' stato trattato

Perfetto, ho bisogno di un po' di tempo per scrivere una risposta che non faccia uso del teorema del Dini.

Grazie ancora.

Il nostro obiettivo prevede di calcolare la derivata di una funzione che soddisfa l'equazione polinomiale:



In altri termini è tale che:



Come suggerito dalla traccia, deriviamo rispetto alla variabile sia il primo che il secondo membro dell'uguaglianza tenendo a mente che è una funzione di .



e usiamo le usuali regole di derivazione per svolgere i calcoli.

Poiché la derivata di una costante è zero, il secondo membro sarà nullo



Per quanto concerne il primo membro, spezziamo la derivata della somma nella somma delle derivate dei singoli addendi e trasportiamo fuori dal simbolo di derivata le costanti moltiplicative



A questo punto esplicitiamo le espressioni delle derivate, tenendo a mente che è una funzione di

La derivata della potenza è facile da calcolare.



Il calcolo di richiede invece la regola di derivazione del prodotto



Esplicitiamo infine la derivata della funzione composta usando l'omonima regola:



Rimpiazziamo a questo punto le derivate nell'uguaglianza



che diventa



Espandiamo i calcoli



e trattiamo la relazione come se fosse un'equazione nell'incognita



Al primo membro mettiamo in evidenza



e infine dividiamo a sinistra e a destra per , ottenendo così:



Ciò dimostra che



Abbiamo finito.

Ti faccio notare che l'opzione



è da scartare perché ha i segni errati.

Grazie mille!!!