Trovare dy/dx data 3x^2-5xy+2y^2=6

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Trovare dy/dx data 3x^2-5xy+2y^2=6 26/09/2019 15:05#100510

avt
Elenacara
Punto
Testo del quesito: "Trovare \frac{dy}{dx} data 3x^{2}-5xy+2y^{2}=6. Suggerimento: considerare y come funzione di x"

Questo è un esercizio a risposta multipla.
La risposta corretta è \frac{6x-5y}{5x-4y}.

Tra le risposte errate viene riportata
\frac{6x-5y}{4y-5x}.

1. In primo luogo, vorrei comprendere la corretta lettura di \frac{dy}{dx} riportata nel testo dell'esercizio che, data la risposta corretta, non mi sembra che esprima la semplice derivata di y rispetto ad x.

2. Esprimere y in funzione di x significa riscrivere l'espressione come -5xy+2y^{2}=6-3x^{2}...ma resta x nel termine 5xy...

3. Guardando la soluzione pare che la derivata sia una frazione con (a) Numeratore - derivata rispetto ad x (b) Denominatore - derivata rispetto ad y quando -5xy+2y^2 sono "portati" al membro di destra. Ma che senso ha e come distinguerla dalla risposta errata che presenta al denominatore la derivata rispetto ad y quando i termini sono derivati nel membro di sinistro?

Potete gentilmente aiutarmi a chiarire cosa di fatto viene richiesto ed il relativo corretto svolgimento?

Grazie infinite!
 
 

Re: Trovare dy/dx data 3x^2-5xy+2y^2=6 26/09/2019 15:26#100511

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Elenacara,

prima di dedicarci al problema, ho bisogno di sapere se conosci il teorema del Dini sulle funzioni implicite: lo avete fatto a lezione?

Grazie mille. emt

Re: Trovare dy/dx data 3x^2-5xy+2y^2=6 26/09/2019 16:17#100512

avt
Elenacara
Punto
No, non e' stato trattato

Re: Trovare dy/dx data 3x^2-5xy+2y^2=6 26/09/2019 16:19#100513

avt
Ifrit
Ambasciatore
Perfetto, ho bisogno di un po' di tempo per scrivere una risposta che non faccia uso del teorema del Dini. emt

Grazie ancora.

Re: Trovare dy/dx data 3x^2-5xy+2y^2=6 26/09/2019 16:51#100514

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro obiettivo prevede di calcolare la derivata di una funzione y(x) che soddisfa l'equazione polinomiale:

3x^2-5xy+2y^2=6

In altri termini y(x) è tale che:

3x^2-5xy(x)+2[y(x)]^2=6

Come suggerito dalla traccia, deriviamo rispetto alla variabile x sia il primo che il secondo membro dell'uguaglianza tenendo a mente che y(x) è una funzione di x.

\frac{d}{dx}\left[3x^2-5xy(x)+2[y(x)]^2\right]=\frac{d}{dx}[6]

e usiamo le usuali regole di derivazione per svolgere i calcoli.

Poiché la derivata di una costante è zero, il secondo membro sarà nullo

\frac{d}{dx}\left[3x^2-5xy(x)+2[y(x)]^2\right]=0

Per quanto concerne il primo membro, spezziamo la derivata della somma nella somma delle derivate dei singoli addendi e trasportiamo fuori dal simbolo di derivata le costanti moltiplicative

3\frac{d}{dx}[x^2]-5\frac{d}{dx}[xy(x)]+2\frac{d}{dx}[y(x)]^2]=0

A questo punto esplicitiamo le espressioni delle derivate, tenendo a mente che y(x) è una funzione di x.

La derivata della potenza x^2 è facile da calcolare.

\bullet \ \ \ \frac{d}{dx}[x^2]=2x

Il calcolo di \frac{d}{dx}[x\cdot y(x)] richiede invece la regola di derivazione del prodotto

\\ \bullet \ \ \ \frac{d}{dx}[x\cdot y(x)]=\frac{d}{dx}[x]\cdot y(x)+x\frac{d}{dx}[y(x)]= \\ \\ \\ =y(x)+x\frac{d}{dx}[y(x)]

Esplicitiamo infine la derivata della funzione composta [y(x)]^2 usando l'omonima regola:

\bullet \ \ \ \frac{d}{dx}[y(x)]^2]=2y(x)\cdot\frac{d}{dx}[y(x)]

Rimpiazziamo a questo punto le derivate nell'uguaglianza

3\frac{d}{dx}[x^2]-5\frac{d}{dx}[xy(x)]+2\frac{d}{dx}[y(x)]^2]=0

che diventa

6x-5\left(y(x)+x\frac{d}{dx}[y(x)]\right)+2\left(2y(x)\cdot\frac{d}{dx}[y(x)]\right)=0

Espandiamo i calcoli

6x-5y(x)-5x\frac{d}{dx}[y(x)]+4y(x)\cdot\frac{d}{dx}[y(x)]=0

e trattiamo la relazione come se fosse un'equazione nell'incognita \frac{d}{dx}[y(x)]

-5x\frac{d}{dx}[y(x)]+4y(x)\frac{d}{dx}[y(x)]=5y(x)-6x

Al primo membro mettiamo in evidenza \frac{d}{dx}[y(x)]

\frac{d}{dx}[y(x)](-5x+4y(x))=5y(x)-6x

e infine dividiamo a sinistra e a destra per -5x+4y(x), ottenendo così:

\\ \frac{d}{dx}[y(x)]=\frac{5y(x)-6x}{-5x+4y(x)}=\\ \\ \\ =\frac{6x-5y(x)}{5x-4y(x)}

Ciò dimostra che

\frac{dy}{dx}=\frac{6x-5y}{5x-4y}

Abbiamo finito.

Ti faccio notare che l'opzione

\frac{dy}{dx}=\frac{6x-5y}{4y-5x}

è da scartare perché ha i segni errati.

Re: Trovare dy/dx data 3x^2-5xy+2y^2=6 26/09/2019 17:24#100516

avt
Elenacara
Punto
Grazie mille!!!
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Os