Calcolo derivata con esponenziale in base a

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Calcolo derivata con esponenziale in base a #100474

avt
Marci20
Visitatore
Buonasera,

nel calcolo della derivata D\left[\frac{a^x}{\ln(a)}\right] ho provato ad applicare il teorema della derivata del quoziente di due funzioni ma non riesco a giungere al risultato a^x.

Vorrei poter vedere i passaggi grazie.
 
 

Calcolo derivata con esponenziale in base a #100475

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Marci20,

esistono diverse strategie per calcolare la derivata della funzione

f(x)=\frac{a^{x}}{\ln(a)}\ \ \ \mbox{con} \ a>0\ \mbox{e} \ a\ne 1

Ad esempio si può ricorrere alle derivate fondamentali, o ancora alla definizione di derivata.

Prima di svolgere i calcoli, è opportuno evidenziare che usare la regola per la derivata di un quoziente è sì applicabile ma è come se stessimo massacrando un moscerino con una bomba H, ma per amor di completezza, vedremo come applicarla per determinare la derivata prima.


Usando le derivate fondamentali

Il nostro intento è quello di esplicitare l'espressione di f'(x)

\\ f'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{a^x}{\ln(a)}\right]=\\ \\ \\ =\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\ln(a)}\cdot a^x\right]

Osserviamo immediatamente che \frac{1}{\ln(a)} è a conti fatti una costante moltiplicativa perché non dipende dalla variabile di derivazione x. Proprio per questo motivo può essere trasportata fuori dal simbolo di derivata

=\frac{1}{\ln(a)}\frac{d}{dx}[a^x]=

Quella dell'esponenziale è in realtà una derivata fondamentale, di cui è nota l'espressione, pertanto la precedente espressione diventa

=\frac{1}{\ln(a)}\cdot a^{x}\cdot\ln(a)=

Semplificando i logaritmi ricaviamo infine

=a^x

che è il risultato richiesto. Questo è quello che probabilmente il tuo professore vuole vedere su un ipotetico compito. Le strategie successive non sono necessarie.


Con la definizione di derivata

Per definizione, la derivata di una funzione f(x) in un punto x è data dal limite per h che tende a zero del rapporto incrementale centrato in x

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=(\bullet)

Nel caso in esame:

f(x)=\frac{a^x}{\ln(a)}\ \ \ ,\ \ \ f(x+h)=\frac{a^{x+h}}{\ln(a)}

pertanto il precedente limite diventa

\\ (\bullet)=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{a^{x+h}}{\ln(a)}-\dfrac{a^{x}}{\ln(a)}}{h}= \\ \\ \\ = \lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{a^{x+h}-a^{x}}{\ln(a)}}{h}=

Scriviamo in forma normale la frazione di frazioni moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore

\\ =\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^{x}}{\ln(a)}\cdot\frac{1}{h}= \\ \\ \\ =\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^{x}}{h\ln(a)}=

A questo punto sfruttiamo le proprietà delle potenze per scrivere a^{x+h} come a^{x}\cdot a^{h}, in questo modo il limite diventa

\\ =\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}\cdot a^{h}-a^{x}}{h\ln(a)}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}(a^h-1)}{h\ln(a)}=

Poiché il fattore \frac{a^{x}}{\ln(a)} non dipende da h, può essere trasportato fuori dal limite, ottenendo così:

=\frac{a^{x}}{\ln(a)}\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}=

Si osservi che \lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h} è un limite notevole che vale \ln(a), di conseguenza:

=\frac{a^{x}}{\ln(a)}\cdot \ln(a)=a^{x}


Con la regola del quoziente

Ci teniamo a precisare nuovamente che la regola del quoziente in questo caso è del tutto inutile, però se usata correttamente, fornisce il risultato richiesto.

f'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{a^{x}}{\ln(a)}\right]=\\ \\ \\ =\frac{\dfrac{d}{dx}[a^x]\cdot\ln(a)-a^{x}\dfrac{d}{dx}[\ln(a)]}{(\ln(a))^2}=

Poiché \ln(a) è una costante agli occhi di x, la sua derivata rispetto a x è zero e ciò ci autorizza a rielaborare la precedente espressione come segue

\\ =\frac{\dfrac{d}{dx}[a^x]\cdot\ln(a)-a^{x}\cdot 0}{(\ln(a))^2}= \\ \\ \\ =\frac{\dfrac{d}{dx}[a^x]\cdot\ln(a)}{(\ln(a))^2}=

Semplifichiamo \ln(a) con (\ln(a))^2

=\frac{\dfrac{d}{dx}[a^x]}{\ln(a)}=

e infine deriviamo a^x rifacendoci alla derivata fondamentale

=\frac{a^{x}\ln(a)}{\ln(a)}=

Semplificati i logaritmi, ricaviamo

=a^{x}

Ecco fatto.
Ringraziano: CarFaby

Calcolo derivata con esponenziale in base a #100476

avt
Marci20
Visitatore
Grazie
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Os