Esercizio su teorema di Taylor con resto di Lagrange

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Esercizio su teorema di Taylor con resto di Lagrange #100445

avt
lucotto
Punto
Ho bisogno di una mano per risolvere un esercizio sul teorema di Taylor, in cui la funzione è fratta. Mi viene chiesto di determinare il valore di un punto c che realizza il teorema.

Data la funzione

f(x) =\frac{2x-1}{3x-1}

e i valori x_0=0\ \mbox{e} \ x=-1, determinare il punto c di cui alla tesi del teorema della formula di Taylor, sviluppando il polinomio di Taylor fino al grado n=1.

Grazie.
 
 

Esercizio su teorema di Taylor con resto di Lagrange #100452

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo la funzione

f(x)=\frac{2x-1}{3x-1}

con i valori x_0=0 \ \mbox{e} \ x=-1. Il nostro obiettivo è quello di calcolare il punto c che realizza la tesi del teorema di Taylor con resto di Lagrange sviluppando il polinomio di Taylor fino al grado n=1.

Sotto le ipotesi del teorema, infatti, esiste un punto c\in(x, x_0) tale che:

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(c) (x-x_0)^2}{2}

dove:

\bullet \ \ \ f(x_0) è la funzione f valutata nel punto x_0;

\bullet \ \ \ f'(x_0) è la derivata prima di f valutata nel punto x_0;

\bullet \ \ \ f''(c) è la derivata seconda di f valutata nel punto c\in (x,x_0).

Per risolvere il problema abbiamo quindi bisogno della derivata di f(x) che possiamo determinare grazie alla regola di derivazione del quoziente

\\ f'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{2x-1}{3x-1}\right]=\\ \\ \\ =\frac{\frac{d}{dx}[2x-1](3x-1)-(2x-1)\frac{d}{dx}[3x-1]}{(3x-1)^2}= \\ \\ \\ =\frac{2(3x-1)-(2x-1)\cdot 3}{(3x-1)^2}=\\ \\ \\ =\frac{6x-2-6x+3}{(3x-1)^2}=\\ \\ \\ =\frac{1}{(3x-1)^2}

Nota l'espressione della derivata, valutiamola nel punto x_0=0

f'(0)=\frac{1}{(3\cdot 0-1)^2}=1

A questo punto calcoliamo la derivata seconda

f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{(3x-1)^2}\right]=

Per esplicitarla, possiamo applicare nuovamente la regola di derivazione del quoziente, però non è molto furbo. Il metodo alternativo prevede di avvalersi della definizione di potenza con esponente negativo e di rielaborare l'espressione come segue:

=\frac{d}{dx}\left[(3x-1)^{-2}\right]=

A questo punto, è evidente che possiamo sfruttare come si deve la regola per la derivata di una potenza, in combinazione con la regola sulla derivata di una funzione composta

=-2(3x-1)^{-3}\cdot\frac{d}{dx}[3x-1]=-2(3x-1)^{-3}\cdot 3=

Semplifichiamo e riportiamo il risultato:

=-\frac{6}{(3x-1)^3}

Nota la derivata seconda, valutiamola nel punto x=c, ottenendo:

f''(c)=-\frac{6}{(3 c-1)^3}

Non ci resta che rimpiazzare i valori ottenuti nella relazione

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(c) (x-x_0)^2}{2}

ottenendo

\\ \frac{2x-1}{3x-1}=1+x+\frac{-\dfrac{6}{(3c-1)^3}}{2}x^2 \\ \\ \\ \mbox{da cui} \\ \\ \\ \frac{2x-1}{3x-1}=1+x-\frac{3}{(3c-1)^3}x^2

dove c\in(x,x_0).

Nel caso in esame, l'esercizio fornisce esplicitamente x che vale -1: se lo rimpiazziamo nella relazione precedente, ricaviamo l'equazione fratta nell'incognita c:

\\ \frac{2(-1)-1}{3(-1)-1}=1+(-1)-\frac{3}{(3c-1)^3}(-1)^2 \\ \\ \\ \frac{-3}{-4}=-\frac{3}{(3c-1)^3}\\ \\ \\ \frac{3}{4}=-\frac{3}{(3c-1)^3} \ \ \ \mbox{con} \ c\in (-1, 0)

Moltiplichiamo i due membri per il minimo comune multiplo tra i denominatori

3(3c-1)^3=-12

dividiamo a destra e a sinistra per 3

(3c-1)^3=-4

ed estraiamo la radice cubica

3c-1=-\sqrt[3]{4} \ \ \ \to \ \ \ 3c=1-\sqrt[3]{4}

Una volta divisi i due membri per 3 scopriamo che il valore di c che realizza il teorema di Taylor è:

c=\frac{1-\sqrt[3]{4}}{3}\simeq -0.196\in (-1,0)

Abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby, lucotto
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Os