Esercizio su teorema di Taylor con resto di Lagrange

Ho bisogno di una mano per risolvere un esercizio sul teorema di Taylor, in cui la funzione è fratta. Mi viene chiesto di determinare il valore di un punto che realizza il teorema.

Data la funzione



e i valori , determinare il punto di cui alla tesi del teorema della formula di Taylor, sviluppando il polinomio di Taylor fino al grado .

Grazie.

Consideriamo la funzione



con i valori . Il nostro obiettivo è quello di calcolare il punto che realizza la tesi del teorema di Taylor con resto di Lagrange sviluppando il polinomio di Taylor fino al grado .

Sotto le ipotesi del teorema, infatti, esiste un punto tale che:



dove:

è la funzione valutata nel punto

è la derivata prima di valutata nel punto

è la derivata seconda di valutata nel punto

Per risolvere il problema abbiamo quindi bisogno della derivata di che possiamo determinare grazie alla regola di derivazione del quoziente



Nota l'espressione della derivata, valutiamola nel punto



A questo punto calcoliamo la derivata seconda



Per esplicitarla, possiamo applicare nuovamente la regola di derivazione del quoziente, però non è molto furbo. Il metodo alternativo prevede di avvalersi della definizione di potenza con esponente negativo e di rielaborare l'espressione come segue:



A questo punto, è evidente che possiamo sfruttare come si deve la regola per la derivata di una potenza, in combinazione con la regola sulla derivata di una funzione composta



Semplifichiamo e riportiamo il risultato:



Nota la derivata seconda, valutiamola nel punto , ottenendo:



Non ci resta che rimpiazzare i valori ottenuti nella relazione



ottenendo



dove .

Nel caso in esame, l'esercizio fornisce esplicitamente che vale : se lo rimpiazziamo nella relazione precedente, ricaviamo l'equazione fratta nell'incognita :



Moltiplichiamo i due membri per il minimo comune multiplo tra i denominatori



dividiamo a destra e a sinistra per 3



ed estraiamo la radice cubica



Una volta divisi i due membri per scopriamo che il valore di che realizza il teorema di Taylor è:



Abbiamo finito.