Limite fratto con differenza tra esponenziale e radice cubica a denominatore

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Limite fratto con differenza tra esponenziale e radice cubica a denominatore #100428

avt
lucus
Punto
Avrei bisogno di una mano per calcolare il valore del seguente limite usando i limiti notevoli.

Calcolare:

 \lim_{x\to 0}\frac{x5^{x+2}}{3^x-\sqrt[3]{x+1}}

Grazie.
 
 

Limite fratto con differenza tra esponenziale e radice cubica a denominatore #100432

avt
Ifrit
Amministratore
Per calcolare il limite

\lim_{x\to 0}\frac{x5^{x+2}}{3^x-\sqrt[3]{x+1}}

abbiamo bisogno dei seguenti limiti notevoli:

- il limite notevole della funzione esponenziale

\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln(a) \ \ \ \mbox{con}\ a>0

dove \ln(a) è il logaritmo naturale di a;

- il limite notevole associato alla funzione potenza

\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}=\alpha

con \alpha\in\mathbb{R}.

Dopo questo breve preambolo, possiamo occuparci del limite.

Consideriamo

\lim_{x\to 0}\frac{x5^{x+2}}{3^x-\sqrt[3]{x+1}}=

Per x\to 0, sia il numeratore che il denominatore tendono a zero, per cui si manifesta la forma di indecisione \left[\frac{0}{0}\right] che scioglieremo applicando opportunamente i limiti notevoli: sia chiaro che per poterli usare dobbiamo ricondurci alla forma in cui si presentano sfruttando alcuni trucchi algebrici.

Per prima cosa sommiamo e sottraiamo 1 al denominatore

=\lim_{x\to 0}\frac{x5^{x+2}}{3^x-1+1-\sqrt[3]{x+1}}=

dopodiché moltiplichiamo e dividiamo il denominatore per x

=\lim_{x\to 0}\frac{x5^{x+2}}{x\cdot\left(\dfrac{3^x-1+1-\sqrt[3]{x+1}}{x}\right)}=

A questo punto, semplifichiamo la x del numeratore principale con la x del denominatore principale

=\lim_{x\to 0}\frac{5^{x+2}}{\dfrac{3^x-1+1-\sqrt[3]{x+1}}{x}}=

Ottimo! Ci siamo quasi. Per ricondurci ai limiti notevoli dell'esponenziale e della potenza, distribuiamo astutamente x

=\lim_{x\to 0}\frac{5^{x+2}}{\dfrac{3^x-1}{x}+\dfrac{1-\sqrt[3]{x+1}}{x}}

In base al limite notevole dell'esponenziale (per a=3), per x che tende a 0, l'addendo \frac{3^x-1}{x} tende a \ln(3), per cui

\lim_{x\to 0}\frac{3^x-1}{x}=\ln(3)

Per quanto concerne l'addendo:

\frac{1-\sqrt[3]{x+1}}{x}=

esso richiede qualche passaggio algebrico in più. Per prima cosa esprimiamo la radice cubica in forma di potenza con esponente fratto così da dedurre il valore da attribuire al parametro \alpha del limite notevole.

=\frac{1-(x+1)^{\frac{1}{3}}}{x}=

Per fare in modo che l'espressione coincida esattamente con quella presente nel limite notevole, mettiamo in evidenza il segno meno al numeratore

=-\frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}-1}{x}

Finalmente disponiamo di tutti gli elementi necessari per calcolare il seguente limite

\\ \lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt[3]{x+1}}{x}=\\ \\ \\ =-\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{3}}-1}{x}=-\frac{1}{3}

Le informazioni ottenute consentono di scrivere il risultato del limite iniziale:

\lim_{x\to 0}\frac{\overbrace{5^{x+2}}^{\to 25}}{\underbrace{\dfrac{3^x-1}{x}}_{\to \ln(3)}+\underbrace{\dfrac{1-\sqrt[3]{x+1}}{x}}_{\to -\frac{1}{3}}}=\frac{25}{\ln(3)-\frac{1}{3}}=

Il limite è risolto! I passaggi successivi hanno il compito di migliorare l'estetica del risultato.

=\frac{25}{\dfrac{3\ln(3)-1}{3}}=

Una volta espressa in forma normale la frazione di frazioni, ricaviamo

=25\cdot\frac{3}{3\ln(3)-1}=\frac{75}{3\ln(3)-1}=

Volendo, possiamo usare la proprietà dei logaritmi - regola dell'esponente - che consente di esprimere 3\ln(3) come \ln(3^3)=\ln(27) e che ci autorizza a rielaborare il risultato nella forma:

=\frac{75}{\ln(27)-1}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois, CarFaby
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Os