Limite fratto con differenza tra esponenziale e radice cubica a denominatore

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Limite fratto con differenza tra esponenziale e radice cubica a denominatore #100428

avt
lucus
Punto
Avrei bisogno di una mano per calcolare il valore del seguente limite usando i limiti notevoli.

Calcolare:

lim_(x → 0)(x5^(x+2))/(3^x-[3]√(x+1))

Grazie.
 
 

Limite fratto con differenza tra esponenziale e radice cubica a denominatore #100432

avt
Ifrit
Amministratore
Per calcolare il limite

lim_(x → 0)(x5^(x+2))/(3^x-[3]√(x+1))

abbiamo bisogno dei seguenti limiti notevoli:

- il limite notevole della funzione esponenziale

lim_(x → 0)(a^x-1)/(x) = ln(a) con a > 0

dove ln(a) è il logaritmo naturale di a;

- il limite notevole associato alla funzione potenza

lim_(x → 0)((1+x)^(α)-1)/(x) = α

con α∈R.

Dopo questo breve preambolo, possiamo occuparci del limite.

Consideriamo

lim_(x → 0)(x5^(x+2))/(3^x-[3]√(x+1)) =

Per x → 0, sia il numeratore che il denominatore tendono a zero, per cui si manifesta la forma di indecisione [(0)/(0)] che scioglieremo applicando opportunamente i limiti notevoli: sia chiaro che per poterli usare dobbiamo ricondurci alla forma in cui si presentano sfruttando alcuni trucchi algebrici.

Per prima cosa sommiamo e sottraiamo 1 al denominatore

= lim_(x → 0)(x5^(x+2))/(3^x-1+1-[3]√(x+1)) =

dopodiché moltiplichiamo e dividiamo il denominatore per x

= lim_(x → 0)(x5^(x+2))/(x·((3^x-1+1-[3]√(x+1))/(x))) =

A questo punto, semplifichiamo la x del numeratore principale con la x del denominatore principale

= lim_(x → 0)(5^(x+2))/((3^x-1+1-[3]√(x+1))/(x)) =

Ottimo! Ci siamo quasi. Per ricondurci ai limiti notevoli dell'esponenziale e della potenza, distribuiamo astutamente x

= lim_(x → 0)(5^(x+2))/((3^x-1)/(x)+(1-[3]√(x+1))/(x))

In base al limite notevole dell'esponenziale (per a = 3), per x che tende a 0, l'addendo (3^x-1)/(x) tende a ln(3), per cui

lim_(x → 0)(3^x-1)/(x) = ln(3)

Per quanto concerne l'addendo:

(1-[3]√(x+1))/(x) =

esso richiede qualche passaggio algebrico in più. Per prima cosa esprimiamo la radice cubica in forma di potenza con esponente fratto così da dedurre il valore da attribuire al parametro α del limite notevole.

= (1-(x+1)^((1)/(3)))/(x) =

Per fare in modo che l'espressione coincida esattamente con quella presente nel limite notevole, mettiamo in evidenza il segno meno al numeratore

= -((x+1)^((1)/(3))-1)/(x)

Finalmente disponiamo di tutti gli elementi necessari per calcolare il seguente limite

lim_(x → 0)(1-[3]√(x+1))/(x) = -lim_(x → 0)((1+x)^((1)/(3))-1)/(x) = -(1)/(3)

Le informazioni ottenute consentono di scrivere il risultato del limite iniziale:

lim_(x → 0)(5^(x+2) (→ 25))/((3^x-1)/(x) (→ ln(3))+(1-[3]√(x+1))/(x) (→ -(1)/(3))) = (25)/(ln(3)-(1)/(3)) =

Il limite è risolto! I passaggi successivi hanno il compito di migliorare l'estetica del risultato.

= (25)/((3ln(3)-1)/(3)) =

Una volta espressa in forma normale la frazione di frazioni, ricaviamo

= 25·(3)/(3ln(3)-1) = (75)/(3ln(3)-1) =

Volendo, possiamo usare la proprietà dei logaritmi - regola dell'esponente - che consente di esprimere 3ln(3) come ln(3^3) = ln(27) e che ci autorizza a rielaborare il risultato nella forma:

= (75)/(ln(27)-1)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois, CarFaby
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Os