Integrale generale oscillazioni libere non smorzate

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Integrale generale oscillazioni libere non smorzate #100094

avt
leon
Punto
Volevo porvi una domanda relativa all'integrale generale per le oscillazioni libere non smorzate, con particolare riferimento all'equazione differenziale del secondo ordine.

Ho la seguente equazione del moto

mx''=-k^{2}x

con condizioni iniziali x(0)=x_0\ \mbox{e}\ x'(0)=v_0.

Posto

\omega^{2}=\frac{k^{2}}{m}

abbiamo

x''+\omega^{2}x=0

Vorrei sapere come arriviamo a determinare l'integrale generale:

x(t)= C \cos(\omega t+\gamma )

come arrivo a determinarmi

C=\sqrt{v_{2}^{0}+\frac{v_{2}^{0}}{\omega ^{2}}}

e perché:

\gamma=\begin{cases}\arctan(-\frac{v_{0}}{\omega x_{0}})&\mbox{se} \ x_{0}>0\\ \arctan(-\frac{v_{0}}{\omega x_{0}})+\pi&\mbox{se} \ x_{0}<0\\ -\frac{\pi}{2}  &\mbox{se} \ x_{0}=0\ \mbox{e}\ v_{0}>0\\ +\frac{\pi}{2}  &\mbox{se}\ x_{0}=0\ \mbox{e}\ v_{0}<0\end{cases}

Grazie.
 
 

Integrale generale oscillazioni libere non smorzate #100101

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao leon!

L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione differenziale

x''(t)+\omega^2 x(t)=0

con condizioni iniziali

x_{0}=x_{0} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ v_{0}=x_{0}'(0)

Per prima cosa classifichiamo l'equazione

x''(t)+\omega^2 x(t)=0

è un'equazione differenziale lineare, del secondo ordine, a coefficienti costanti e omogenea.

Per poterne ricavare le soluzioni, associamo l'equazione caratteristica:

\lambda^2+\omega^2=0

Essa è un'equazione di secondo grado e con coefficienti

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=0 \ \ \ , \ \ \ c=\omega^2

Calcoliamo il discriminante con la classica formula

\Delta=b^2-4ac= -4\omega^2<0 \ \ \ \mbox{per ogni}\ \omega\ne 0

Poiché il discriminante è negativo, l'equazione caratteristica è soddisfatta dai numeri complessi:

\lambda_1=-\omega i \ \ \ \mbox{e}\ \ \ \lambda_{2}=\omega i

dove i è l'unità immaginaria.

Nota: le soluzioni dell'equazione di secondo grado si presentano nella forma

\alpha\pm\beta i

dove in questa circostanza \alpha=0, mentre \beta=\omega.

In accordo con la teoria, la famiglia di soluzioni che soddisfano l'equazione differenziale è:

\\ x(t)=e^{\alpha t}(c_{1}\cos(\beta t)+c_2\sin(\beta t))= \\ \\ =e^{0\cdot t}(c_1\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t))=\\ \\ =c_1\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t)

dove c_{1}\ \mbox{e}\  c_2 sono costanti reali.

Sì noti che grazie alle formule trigonometriche, la famiglia di soluzioni può essere espressa nella forma

x(t)=C\cos(\omega t+\gamma)

dove C\ \mbox{e} \ \gamma si ricavano usando in maniera opportuna la formula di addizione del coseno.

\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)

Procediamo con ordine e partiamo dall'espressione

x(t)=c_{1}\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t)

e definiamo C come la radice quadrata della somma tra i quadrati dei coefficienti di seno e coseno

C=\sqrt{c_1^2+c_2^2}

e riscriviamo x(t) nel seguente modo

x(t)=C\left[\frac{c_{1}}{C}\cos(\omega t)+\frac{c_2}{C}\sin(\omega t)\right]

Osserviamo a questo punto che \frac{c_1}{C}\ \mbox{e} \ \frac{c_2}{C} sono quantità comprese tra -1\ \mbox{e} \ 1, infatti il loro valore assoluto è minore o al più uguale di 1. A titolo di esempio riportiamo la dimostrazione solo per il caso \frac{c_1}{C}, l'altro è analogo.

\left|\frac{c_1}{C}\right|=\left|\frac{c_{1}}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\right|\le\left|\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2}}\right|=\frac{|c_1|}{|c_1|}\le 1

Oltre a questa caratteristica, i valori \frac{c_1}{C}\ \mbox{e} \ \frac{c_2}{C} realizzano l'uguaglianza

\left[\frac{c_1}{C}\right]^2+\left[\frac{c_2}{C}\right]^2=1

In altri termini, i rapporti \frac{c_{1}}{C}\ \mbox{e}\ \frac{c_2}{C} godono delle stesse relazioni di cui godono seno e coseno.


Approfondimento

Le precedenti osservazioni valgono anche per \frac{c_1}{C}\ \mbox{e} \ -\frac{c_2}{C}, ergo possiamo interpretarli come le coordinate di un punto della circonferenza goniometrica.

P\left(\frac{c_1}{C}, -\frac{c_2}{C}\right)

In accordo con la definizione di seno e coseno, esiste un angolo \gamma tale che:

\cos(\gamma)=\frac{c_1}{C}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \sin(\gamma)=-\frac{c_2}{C}

per cui

\cos(\gamma)=\frac{c_1}{C}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ -\sin(\gamma)=\frac{c_2}{C}

(il segno meno nell'equazione con il seno è dovuto al fatto che vogliamo ricondurci alla formula di addizione del coseno nella quale compare il segno negativo).

Rimpiazziamo \frac{c_1}{C}\ \mbox{e} \ \frac{c_2}{C} rispettivamente con \cos(\gamma)\ \mbox{e} \ -\sin(\gamma) nella relazione

x(t)=C\left[\frac{c_{1}}{C}\cos(\omega t)+\frac{c_2}{C}\sin(\omega t)\right]

che diventa

x(t)=C\left[\cos(\gamma)\cos(\omega t)-\sin(\gamma)\sin(\omega t)\right]=

A questo punto interviene la formula di addizione del coseno che, letta al rovescio, tramuta la precedente espressione in quella richiesta

=C\cos(\omega t+\gamma)

dove (ribadiamolo)

C=\sqrt{c_1^2+c_2^2}

e \gamma è l'angolo che risolve il sistema goniometrico

\begin{cases}\cos(\gamma)=\dfrac{c_1}{C}\\ \\ \sin(\gamma)=-\dfrac{c_2}{C}\end{cases}

A questo punto, ora che abbiamo dimostrato come ricavare l'espressione, possiamo imporre le condizioni iniziali

Dalla condizione sulla posizione iniziale ricaviamo il seguente vincolo

x_{0}=x(0) \ \ \ \to \ \ \ x(0)=C\cos(\gamma)

Per quanto riguarda la velocità iniziale, dobbiamo calcolare prima la derivata rispetto a t di x(t)

x'(t)=\frac{d}{dt}[C\cos(\omega t+\gamma)]=-C\omega\sin(\omega t+\gamma)

da cui

v_{0}=x'(0)=-C\omega\sin(\gamma)

Mettiamo a sistema le due condizioni

\begin{cases}C\cos(\gamma)=x_0\\ \\ -C\omega\sin(\gamma)=v_0\end{cases}

Isoliamo le funzioni goniometriche al primo membro

\begin{cases}\cos(\gamma)=\dfrac{x_{0}}{C}\\ \\ \sin(\gamma)=-\dfrac{v_0}{C\omega}\end{cases}

e iniziamo la discussione, iniziando dal calcolo di C.

Eleviamo al quadrato i membri della prima relazione e quelli della seconda relazione

\begin{cases}\cos^2(\gamma)=\dfrac{x_{0}^2}{C^2}\\ \\ \sin^2(\gamma)=\dfrac{v_0^2}{C^2\omega^2}\end{cases}

dopodiché rimpiazziamo la seconda equazione con quella che si ottiene sommando ordinatamente i membri delle due equazioni

\begin{cases}\cos^2(\gamma)=\dfrac{x_{0}^2}{C^2}\\ \\ \sin^2(\gamma)+\cos^2(\gamma)=\dfrac{v_0^2}{C^2\omega^2}+\dfrac{x_{0}^2}{C^2}\end{cases}

In virtù della relazione fondamentale della goniometria, il primo membro della seconda equazione è uguale a 1

\begin{cases}\cos^2(\gamma)=\dfrac{x_{0}^2}{C^2}\\ \\ 1=\dfrac{v_0^2}{C^2\omega^2}+\dfrac{x_{0}^2}{C^2}\end{cases}

Mettiamo in evidenza \frac{1}{C^2}

\begin{cases}\cos^2(\gamma)=\dfrac{x_{0}^2}{C^2}\\ \\ 1=\frac{1}{C^2}\left[\dfrac{v_0^2}{\omega^2}+x_{0}^2\right]\end{cases}

moltiplichiamo i membri della seconda per C^2

\begin{cases}\cos^2(\gamma)=\dfrac{x_{0}^2}{C^2}\\ \\ C^2=\dfrac{v_0^2}{\omega^2}+x_{0}^2\end{cases}

e infine estraiamo la radice quadrata ricavando l'espressione che lega C con le condizioni iniziali x_{0} \ \mbox{e} \ v_0 e con \omega

\begin{cases}\cos^2(\gamma)=\dfrac{x_{0}^2}{C^2}\\ \\ C=\sqrt{\dfrac{v_0^2}{\omega^2}+x_{0}^2}\end{cases}

Osservazione: dal punto di vista puramente matematico, nel momento in cui estraiamo la radice quadrata, dovrebbe comparire il valore assoluto di C, ma per come è definita, essa è necessariamente una quantità positiva, per cui il valore assoluto è inutile.

Per quanto concerne il calcolo di \gamma è opportuno fare una precisazione. In base alla teoria delle equazioni goniometriche, \gamma è unico a meno di multipli di 2\pi, inoltre abbiamo libertà di scelta sull'intervallo di variazione di \gamma: possiamo scegliere ad esempio \left[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)

]Nota: la scelta di questo intervallo è stata dettata dalle soluzioni che propone il tuo professore. D'altro canto avrei potuto scegliere come intervallo \left[0,2\pi\right).

]Dopo questa premessa, torniamo al sistema

\begin{cases}\cos(\gamma)=\dfrac{x_{0}}{C}\\ \\ \sin(\gamma)=-\dfrac{v_0}{C\omega}\end{cases}

Se x_0=0 la prima relazione si tramuta in un'equazione goniometrica elementare, che nell'intervallo \left[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right) ha soluzioni:]

\cos(\gamma)=0 \ \ \ \to \ \ \ \gamma=-\frac{\pi}{2} \ \ \ \vee \ \ \ \gamma=\frac{\pi}{2}

Se rimpiazziamo \gamma con -\frac{\pi}{2}, la seconda equazione del sistema diventa

\\ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{v_0}{C\omega} \\ \\ \mbox{ossia} \\ \\ -1=-\frac{v_{0}}{C\omega}\ \ \ \to \ \ \ v_{0}=C\omega>0

Se rimpiazziamo \gamma con \frac{\pi}{2}, la seconda equazione diventa

\\ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{v_0}{C\omega} \\ \\ \mbox{ossia} \\ \\ 1=-\frac{v_{0}}{C\omega}\ \ \ \to \ \ \ v_{0}=-C\omega<0

Possiamo affermare che:

\gamma=\begin{cases}-\dfrac{\pi}{2} &\mbox{se} \ x_{0}=0\ \mbox{e} \ v_0<0\\ \\ \dfrac{\pi}{2}&\mbox{se} \ x_0=0\ \mbox{e} \ v_{0}>0 \end{cases}

Se x_{0}\ne 0, ossia se \cos(\gamma)\ne 0, possiamo sostituire la seconda equazione del sistema con quella che si ottiene dividendo i membri della seconda con quelli della prima

\begin{cases}\cos(\gamma)=\dfrac{x_{0}}{C}\\ \\ \dfrac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}=-\dfrac{v_0}{x_0 \omega}\end{cases}

da cui, usando la definizione di tangente

\begin{cases}\cos(\gamma)=\dfrac{x_{0}}{C}\\ \\ \tan(\gamma)=-\dfrac{v_0}{x_0 \omega}\end{cases}

A questo punto osserviamo che:

- se x_{0}>0 allora necessariamente \frac{x_{0}}{C}>0 e per concordanza \cos(\gamma)>0, vale a dire:

-\frac{\pi}{2}<\gamma<\frac{\pi}{2}

In questo intervallo, la tangente è una funzione invertibile e la sua inversa coincide con l'arcotangente, pertanto possiamo risolvere l'equazione

\tan(\gamma)=-\dfrac{v_0}{x_0 \omega}

passando membro a membro l'arcotangente

\gamma=\arctan\left(-\dfrac{v_{0}}{x_{0}\omega}\right)

Se x_{0}<0 allora \frac{x_{0}}{C}<0 e per concordanza anche \cos(\gamma)<0, per cui \gamma vive nel secondo e nel terzo quadrante, ossia

\frac{\pi}{2}<\gamma<\frac{3}{2}\pi

In questa circostanza, la tangente risulta ancora invertibile, ma attenzione! La sua inversa non coincide con l'arcotangente, bensì con una sua traslata di \pi.

\tan(\gamma)=-\dfrac{v_0}{x_0 \omega}\ \ \ \to \ \ \ \gamma=\arctan\left(-\dfrac{v_0}{x_0\omega}\right)+\pi

In definitiva

\gamma=\begin{cases}\arctan\left(-\dfrac{v_{0}}{\omega x_{0}}\right)&\mbox{se} \ x_0>0\\ \\ \arctan\left(-\dfrac{v_{0}}{\omega x_0}\right)+\pi &\mbox{se}\ x_0<0\\ \\ -\dfrac{\pi}{2}&\mbox{se}\ x_0=0 \ \mbox{e}\ v_0>0\\ \\ \dfrac{\pi}{2}&\mbox{se}\  x_0=0 \ \mbox{e}\ v_0<0\end{cases}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega
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Os