Immagine di una funzione omografica

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Immagine di una funzione omografica #100018

avt
gianni03
Punto
Non riesco a capire come si determina l'immagine di una funzione, in questo caso si tratta di una funzione razionale fratta.

Determinare il dominio e l'immagine della seguente funzione

y=\frac{2-x}{x}

Soluzioni:

- dominio: x\ne 0

- immagine: y\ne -1

Ne propongo una come esempio e chiedo, se possibile, di spiegare la risoluzione passo a passo. Grazie.
 
 

Immagine di una funzione omografica #100020

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao gianni03!

L'esercizio ci chiede di calcolare l'immagine della funzione

y=\frac{2-x}{x}

ma prima bisogna esplicitare il suo dominio.


Dominio della funzione

Poiché siamo in presenza di una funzione razionale fratta, essa è ben definita nel momento in cui il denominatore è diverso da zero, ecco perché imponiamo la seguente relazione:

\mbox{Dominio}\ :\ x\ne 0

Il dominio della funzione è quindi:

\mbox{Dominio}=\{x\in\mathbb{R}\  : \ x\ne 0\}

che nel linguaggio degli intervalli diviene

\mbox{Dominio}=(-\infty, 0)\cup (0,+\infty)


Immagine della funzione

Noto il dominio, siamo in grado di determinare l'immagine della funzione.

Per raggiungere il nostro scopo possiamo avvalerci del cosiddetto metodo algebrico che si basa sulla definizione stessa di immagine: è l'insieme formato dai numeri reali y per cui l'equazione parametrica

y=\frac{2-x}{x}

ammetta almeno una soluzione in x.

Moltiplichiamo i due membri per x

xy=2-x

e trasportiamo -x al primo membro

xy+x=2

A questo punto raccogliamo il fattore comune tra i termini del primo membro

x(y+1)=2

e osserviamo che:

- se y+1=0, ossia se y=-1, l'equazione si tramuta in

0=2

ed è pertanto impossibile: ciò vuol dire che -1 non appartiene all'immagine della funzione.

- Se y+1\ne 0, vale a dire se y\ne-1, siamo autorizzati a dividere i due membri per y+1, ottenendo:

x=\frac{2}{y+1}

Ciò significa che per ogni y\ne -1, l'equazione parametrica

y=\frac{2-x}{x}

ammette almeno una soluzione in x, pertanto:

\mbox{Immagine} \ : \ y\ne -1

che nel linguaggio degli intervalli diviene

\mbox{Immagine}=(-\infty, -1)\cup(-1,+\infty)


Metodo alternativo

Oltre a quello algebrico, esiste anche il metodo grafico: esso prevede di rappresentare il grafico della funzione

y=\frac{2-x}{x}

o avviando uno studio di funzione (inutile in questo caso) oppure osservando che quella data è effettivamente una funzione omografica, il cui grafico è un'iperbole di centro nel punto C(0,-1), passante per i punti (2,0)\ \mbox{e} \ (1,1) e di asintoti di equazioni

y=-1 \ \ \ , \ \ \ x=0

(Per approfondire - asintoti dell'iperbole).

Una volta disegnato il grafico, l'immagine della funzione si ricava considerando le ordinate dei punti dell'iperbole.

immagine di una funzione omografica

Dal grafico è evidente che l'immagine della funzione è y\ne -1.


Pro e contro dei metodi

Il metodo algebrico ha dalla sua la velocità di esecuzione: ha solo un piccolo difetto. Se l'espressione analitica della funzione f(x) è elaborata, diventa molto complicato risolvere l'equazione parametrica

y=f(x)

se non addirittura impossibile.


Il metodo geometrico è quello più semplice da capire, però richiede di conoscere il grafico della funzione, per cui o si avvia lo studio di funzione oppure si ricava il grafico con le tecniche del grafico intuitivo: in ogni caso bisogna avere ottime doti geometriche nonché analitiche.
  • Pagina:
  • 1
Os