Ciao 21zuclo, per quanto mi riguarda io ho studiato le serie in calcolo 1, calcolo 2, analisi 1, analisi 2 e analisi 3. Quest'ultimo in particolare aveva come sottotitolo successioni e serie di funzioni.
In tutti i corsi che ho elencato ci hanno insegnato i metodi per il calcolo della somma di una serie. Più che altro si utilizza la serie di Taylor per il calcolo esplicito della somma, oppure Fourier.
Sappi però che solo in rari casi è possibile calcolare esplicitamente la somma, non esiste un metodo generale che vale per tutte le serie (ma questo credo tu lo sappia già)
Per quanto riguarda il tuo problema, ti consiglio di leggere la pagina di Wikipedia:
The Basel problem.
Buona lettura!