Gruppo generale lineare

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Gruppo generale lineare #509

avt
FAQ
Frattale
Cos'è e come si definisce il gruppo generale lineare? Potreste riportare la definizione e dimostrare che, effettivamente, si tratta di un gruppo?
 
 

Gruppo generale lineare #1031

avt
Omega
Amministratore
Prende il nome di gruppo generale lineare l'insieme di tutte le matrici quadrate invertibili, dello stesso ordine e a coefficienti in uno stesso campo, dotato dell'operazione di prodotto tra matrici.

Più nello specifico, fissiamo un numero naturale n\ge 1 e consideriamo un campo \mathbb{K}, quale potrebbe essere il campo \mathbb{R} dei numeri reali o il campo \mathbb{C} dei numeri complessi.

Consideriamo poi l'insieme di tutte le matrici quadrate di ordine n, a coefficienti nel campo \mathbb{K} e invertibili.

Se dotiamo tale insieme dell'operazione di prodotto tra matrici si viene a formare un gruppo, detto gruppo generale lineare e solitamente indicato con GL(n, \mathbb{K}) o con GL_n(\mathbb{K}).

GL(n,\mathbb{K}):=\{A\in Mat(n,n,\mathbb{K})\mbox{ tali che }A\mbox{ invertibile}\}

Dimostriamo che il gruppo generale lineare è effettivamente un gruppo. A tal proposito occorre verificare che sono soddisfatte le seguenti proprietà:

1) GL(n,\mathbb{R}) è chiuso rispetto alla moltiplicazione riga per colonna, ossia il prodotto di due elementi di GL(n,\mathbb{K}) è ancora un elemento di GL(n,\mathbb{K}).

2) Il prodotto tra matrici invertibili gode della proprietà associativa.

3) Esiste una matrice invertibile che funge da elemento neutro.

4) Per ogni matrice di GL(n,\mathbb{K}) esiste l'inverso rispetto all'operazione di prodotto riga per colonna.

Procediamo con ordine.

1) Siano A,B \in GL(n,\mathbb{K}) due matrici invertibili di ordine n.

Dobbiamo dimostrare che AB \in GL(n,\mathbb{K}), cioè che il prodotto tra le due matrici è ancora una matrice invertibile. A tal proposito è sufficiente provare che il determinante di AB è diverso da zero.

Per il teorema di Binet il determinante di un prodotto è uguale al prodotto dei determinanti, ossia

\mbox{det}(AB)=\mbox{det}(A) \ \mbox{det}(B)

Se fosse \mbox{det}(AB)=0, per la legge di annullamento del prodotto dovrebbe essere

\mbox{det}(A)=0 \mbox{ oppure } \mbox{det}(B)=0

ma ciò non è possibile in quanto A \mbox{ e } B sono due matrici invertibili a coefficienti in un campo, e quindi il loro determinante è non nullo. Ciò prova l'asserto e possiamo proseguire oltre.

2) Siano ora A,B,C \in GL(n,\mathbb{R}). Dobbiamo dimostrare che vale la proprietà associativa, cioè che

(AB)C=A(BC)

Siano

A=(a_{ij})_{\begin{matrix}1\le i \le n \\ 1\le j \le n\end{matrix}} \ \ B=(b_{ij})_{\begin{matrix}1\le i \le n \\ 1\le j \le n\end{matrix}} \ \ C=(c_{ij})_{\begin{matrix}1\le i \le n \\ 1\le j \le n\end{matrix}}

Per com'è definito il prodotto riga per colonna, per ogni i,j \in \{1,2,...,n\}:

\\ AB=d_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \\ \\ \\ BC=e_{kj}=\sum_{\ell=1}^n b_{k\ell}c_{\ell j}

Quindi

(AB)C=\sum_{\ell=1}^n d_{i\ell}c_{\ell j}=\sum_{\ell=1}^n \left(\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{k\ell}\right)c_{\ell j}=

per la proprietà distributiva

=\sum_{k=1}^n a_{ik} \sum_{\ell=1}^n b_{k\ell}c_{\ell j}=\sum_{k=1}^n a_{ik}e_{kj}=A(BC)

Possiamo così concludere che vale la proprietà associativa.

3) Come dovrebbe essere già noto, l'elemento neutro del prodotto tra matrici è matrice identica, il cui determinante è diverso da zero. Dunque \mbox{Id}_n \in GL(n,\mathbb{K}) è l'elemento neutro cercato.

4) Per ogni elemento A\in GL(n,\mathbb{R}), cioè per ogni matrice invertibile, esiste l'elemento inverso ed è proprio la matrice inversa A^{-1}, che per definizione è tale che

AA^{-1}=A^{-1}A=\mbox{Id}_n

Questo conclude la dimostrazione.

Un sottogruppo del gruppo generale lineare è il gruppo ortogonale - click!
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