Gruppo generale lineare

Cos'è e come si definisce il gruppo generale lineare? Potreste riportare la definizione e dimostrare che, effettivamente, si tratta di un gruppo?

Prende il nome di gruppo generale lineare l'insieme di tutte le matrici quadrate invertibili, dello stesso ordine e a coefficienti in uno stesso campo, dotato dell'operazione di prodotto tra matrici.

Più nello specifico, fissiamo un numero naturale e consideriamo un campo , quale potrebbe essere il campo dei numeri reali o il campo dei numeri complessi.

Consideriamo poi l'insieme di tutte le matrici quadrate di ordine , a coefficienti nel campo e invertibili.

Se dotiamo tale insieme dell'operazione di prodotto tra matrici si viene a formare un gruppo, detto gruppo generale lineare e solitamente indicato con o con .


Dimostriamo che il gruppo generale lineare è effettivamente un gruppo. A tal proposito occorre verificare che sono soddisfatte le seguenti proprietà:

1) è chiuso rispetto alla moltiplicazione riga per colonna, ossia il prodotto di due elementi di è ancora un elemento di .

2) Il prodotto tra matrici invertibili gode della proprietà associativa.

3) Esiste una matrice invertibile che funge da elemento neutro.

4) Per ogni matrice di esiste l'inverso rispetto all'operazione di prodotto riga per colonna.

Procediamo con ordine.

1) Siano due matrici invertibili di ordine .

Dobbiamo dimostrare che , cioè che il prodotto tra le due matrici è ancora una matrice invertibile. A tal proposito è sufficiente provare che il determinante di è diverso da zero.

Per il teorema di Binet il determinante di un prodotto è uguale al prodotto dei determinanti, ossia



Se fosse , per la legge di annullamento del prodotto dovrebbe essere



ma ciò non è possibile in quanto sono due matrici invertibili a coefficienti in un campo, e quindi il loro determinante è non nullo. Ciò prova l'asserto e possiamo proseguire oltre.

2) Siano ora . Dobbiamo dimostrare che vale la proprietà associativa, cioè che



Siano



Per com'è definito il prodotto riga per colonna, per ogni :



Quindi



per la proprietà distributiva



Possiamo così concludere che vale la proprietà associativa.

3) Come dovrebbe essere già noto, l'elemento neutro del prodotto tra matrici è matrice identica, il cui determinante è diverso da zero. Dunque è l'elemento neutro cercato.

4) Per ogni elemento , cioè per ogni matrice invertibile, esiste l'elemento inverso ed è proprio la matrice inversa , che per definizione è tale che



Questo conclude la dimostrazione.

Un sottogruppo del gruppo generale lineare è il gruppo ortogonale - click!