Quesito 1 - Definire una funzione note alcune proprietà

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Nella categoria Prova a rispondere tu gli amministratori e gli utenti pongono quesiti e domande agli altri utenti. Questa NON è una sezione di assistenza ma solamente di pura discussione e svago.

A meno che non sia esplicitamente indicato, lo Staff NON garantisce l'accuratezza delle eventuali risposte / spiegazioni proposte dagli utenti.

Per maggiori informazioni leggi il topic introduttivo.

Quesito 1 - Definire una funzione note alcune proprietà #146

avt
Omega
Amministratore
Un quesito di Analisi in cui è richiesto di definire una funzione conoscendone alcune proprietà.

Siete in grado di trovare una funzione

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ y=f(x)

tale che

\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}f(x)=0^+

e tale da avere due asintoti verticali?

Descrivete pure il ragionamento che avete seguito nel determinarla. Vince la funzione meno complicata e più originale.

A proposito: non è consentito definire la funzione come funzione a tratti.
Ringraziano: CarFaby
 
 

Quesito 1 - Definire una funzione note alcune proprietà #147

avt
frank094
Sfera
Ok, come funzione mi viene in mente questa:

f(x)=\frac{e^{-x}+1}{x^2-1}

Infatti risulta che

\lim_{x\to -\infty}{\frac{e^{-x}+1}{x^{2}-1}}=+\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\frac{e^{-x}+1}{x^{2}-1}}=0^{+}

Questo secondo limite io in genere lo indico direttamente con 0, senza aggiungere il "+", ma considerando la natura dell'esponenziale e del termine al quadrato al denominatore si può logicamente concludere che se tende a zero lo fa sicuramente dalla parte positiva!

In più ci sono i due asintoti verticali x=\pm 1, quindi direi che con le condizioni ci siamo.

Ho tracciato anche un grafico e mi sembra che come funzione vada.

Adesso... Come sono arrivato a questa funzione?

1) Ho preso un denominatore di secondo grado per avere i due asintoti verticali, e infatti così è stato.

2) Il limite per x che tende a meno infinito e fa più infinito mi ha fatto inizialmente presupporre un polinomio di grado maggiore al numeratore (magari x^4), però ho rinunciato per la particolarità del secondo limite.

Allora mi è venuto in mente: esponenziale! Con esponente con segno meno, così da rendere entrambi i limite verificati.

Beh, diciamo che è stato più a intuito che altro... Che ne dite, può andare?
Ringraziano: CarFaby

Quesito 1 - Definire una funzione note alcune proprietà #150

avt
Omega
Amministratore
Va più che bene! La spiegazione è esauriente e il ragionamento che hai seguito è semplice.

Il compito principale dei Matematici è sempre quello di raggiungere il risultato nel modo più elegante possibile, ma soprattutto impiegando il minimo sforzo. emt
  • Pagina:
  • 1
Os