Probabilità condizionata dell'unione di due eventi

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Probabilità condizionata dell'unione di due eventi #80051

avt
FAQ
Frattale
Un esercizio di probabilità a stampo teorico chiede di dimostrare una formula sulla probabilità condizionata dell'unione di due eventi rispetto a un terzo evento. Ho provato varie strade, ma nessuna mi ha portato alla tesi.

Siano dati gli eventi E_1,E_2,F ⊆ Ω e sia P(F) ≠ 0. Verificare che la probabilità condizionata dell'evento unione E_1 U E_2 rispetto a F si può esprimere come segue

P(E_1 U E_2 | F) = P(E_1|F)+P(E_2|F)-P(E_1 ∩ E_2|F)
 
 

Probabilità condizionata dell'unione di due eventi #102459

avt
Galois
Amministratore
Indichiamo con Ω uno spazio campionario relativo a un esperimento casuale e siano E_1, E_2 ,F ⊆ Ω tre eventi con P(F) ≠ 0.

Dobbiamo dimostrare che la probabilità condizionata dell'evento unione E_1 U E_2 rispetto a F è uguale alla probabilità condizionata di E_1 rispetto a F, più la probabilità condizionata di E_2 rispetto a F, meno la probabilità condizionata dell'evento intersezione E_1 ∩ E_2 rispetto a F.

Più esplicitamente dobbiamo dimostrare la formula

P(E_1 U E_2 | F) = P(E_1|F)+P(E_2|F)-P(E_1 ∩ E_2|F)

Iniziamo! Partiamo dal primo membro e applichiamo la formula della probabilità condizionata

P(E_1 U E_2 | F) = (P((E_1 U E_2) ∩ F))/(P(F)) =

per la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione

= (P((E_1 ∩ F) U (E_2 ∩ F)))/(P(F)) =

La probabilità dell'unione di due eventi è uguale alla somma delle rispettive probabilità diminuita della probabilità della loro intersezione, come garantito dal teorema della probabilità totale

= (P(E_1 ∩ F)+P(E_2 ∩ F)-P((E_1 ∩ F) ∩ (E_2 ∩ F)))/(P(F)) = (•)

Per le proprietà dell'intersezione insiemistica

(E_1 ∩ F) ∩ (E_2 ∩ F) = E_1 ∩ E_2 ∩ F = (E_1 ∩ E_2) ∩ F

quindi continuando da dove ci siamo interrotti abbiamo

(•) = (P(E_1 ∩ F)+P(E_2 ∩ F)-P((E_1 ∩ E_2) ∩ F))/(P(F)) =

Scriviamo la frazione come somma di frazioni

= (P(E_1 ∩ F))/(P(F))+(P(E_2 ∩ F))/(P(F))-(P((E_1 ∩ E_2) ∩ F))/(P(F)) =

per com'è definita la probabilità condizionata

= P(E_1|F)+P(E_2|F)-P(E_1 ∩ E_2|F)

In buona sostanza abbiamo dimostrato che

P(E_1 U E_2 | F) = P(E_1|F)+P(E_2|F)-P(E_1 ∩ E_2|F)

e l'esercizio è concluso.

Probabilità condizionata dell'unione di due eventi #102706

avt
YM
Bot
  • Pagina:
  • 1
Os