Probabilità condizionata dell'unione di due eventi

Un esercizio di probabilità a stampo teorico chiede di dimostrare una formula sulla probabilità condizionata dell'unione di due eventi rispetto a un terzo evento. Ho provato varie strade, ma nessuna mi ha portato alla tesi.

Siano dati gli eventi e sia . Verificare che la probabilità condizionata dell'evento unione rispetto a si può esprimere come segue

Indichiamo con uno spazio campionario relativo a un esperimento casuale e siano tre eventi con .

Dobbiamo dimostrare che la probabilità condizionata dell'evento unione rispetto a è uguale alla probabilità condizionata di rispetto a , più la probabilità condizionata di rispetto a , meno la probabilità condizionata dell'evento intersezione rispetto a .

Più esplicitamente dobbiamo dimostrare la formula



Iniziamo! Partiamo dal primo membro e applichiamo la formula della probabilità condizionata



per la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione



La probabilità dell'unione di due eventi è uguale alla somma delle rispettive probabilità diminuita della probabilità della loro intersezione, come garantito dal teorema della probabilità totale



Per le proprietà dell'intersezione insiemistica



quindi continuando da dove ci siamo interrotti abbiamo



Scriviamo la frazione come somma di frazioni



per com'è definita la probabilità condizionata



In buona sostanza abbiamo dimostrato che



e l'esercizio è concluso.

Lezioni e risorse correlate:

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