Probabilità condizionata del complementare di un evento

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Probabilità condizionata del complementare di un evento #79267

avt
e21959
Punto
Vorrei sottoporre alla vostra attenzione il seguente esercizio teorico, in cui bisogna dimostrare che la probabilità condizionata del complementare di un evento rispetto a un altro è uguale a 1 meno la probabilità condizionata del primo evento rispetto al secondo.

Siano E,F ⊆ Ω due eventi, con P(F) ≠ 0. Dimostrare che la probabilità condizionata del complementare di E rispetto a F è uguale a 1 meno la probabilità condizionata di E rispetto a F.
 
 

Probabilità condizionata del complementare di un evento #102458

avt
Galois
Amministratore
Siano Ω uno spazio campionario relativo a un esperimento casuale ed E,F ⊆ Ω due eventi tali che P(F) ≠ 0.

Ci viene chiesto di dimostrare che la probabilità condizionata del complementare dell'evento E rispetto a F è uguale a 1 meno la probabilità condizionata di E rispetto a F.

In sintesi dobbiamo dimostrare la formula

P(E^C|F) = 1-P(E|F)

Procediamo! Poiché F è contenuto in Ω, possiamo esprimere F come intersezione tra F e Ω

F = F ∩ Ω =

Scriviamo poi Ω come unione tra E e il complementare dell'evento E

= F ∩ (E U E^C) =

per la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione

= (F ∩ E) U (F ∩ E^C)

Ricapitolando abbiamo espresso F come unione di due eventi

F = (F ∩ E) U (F ∩ E^C)

Passiamo alle probabilità

P(F) = P((F ∩ E) U (F ∩ E^C))

Osserviamo che F ∩ E e F ∩ E^C sono eventi incompatibili, infatti hanno intersezione vuota. Per uno degli assiomi della Probabilità, la probabilità dell'unione di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle rispettive probabilità, dunque dalla precedente uguaglianza ricaviamo che

P(F) = P(F ∩ E)+P(F ∩ E^C)

Ci siamo quasi, anche se non sembrerebbe! Dividiamo membro a membro per P(F), che è diversa da zero per ipotesi

(P(F))/(P(F)) = (P(F ∩ E))/(P(F))+(P(F ∩ E^C))/(P(F))

e otteniamo

1 = (P(F ∩ E))/(P(F))+(P(F ∩ E^C))/(P(F)) (•)

Se ricordiamo la formula della probabilità condizionata è facile vedere che

(P(F ∩ E))/(P(F)) = P(E|F)

e che

(P(F ∩ E^C))/(P(F)) = P(E^C|F)

Sostituiamo in (•)

1 = P(E|F)+P(E^C|F)

e invertendo in favore di P(E^C|F) abbiamo la tesi, ossia

P(E^C|F) = 1-P(E|F)

Fine!

Probabilità condizionata del complementare di un evento #102705

avt
YM
Bot
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