Probabilità condizionata del complementare di un evento

Vorrei sottoporre alla vostra attenzione il seguente esercizio teorico, in cui bisogna dimostrare che la probabilità condizionata del complementare di un evento rispetto a un altro è uguale a 1 meno la probabilità condizionata del primo evento rispetto al secondo.

Siano due eventi, con . Dimostrare che la probabilità condizionata del complementare di rispetto a è uguale a 1 meno la probabilità condizionata di rispetto a .

Siano uno spazio campionario relativo a un esperimento casuale ed due eventi tali che .

Ci viene chiesto di dimostrare che la probabilità condizionata del complementare dell'evento rispetto a è uguale a 1 meno la probabilità condizionata di rispetto a .

In sintesi dobbiamo dimostrare la formula



Procediamo! Poiché è contenuto in , possiamo esprimere come intersezione tra e



Scriviamo poi come unione tra e il complementare dell'evento



per la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione



Ricapitolando abbiamo espresso come unione di due eventi



Passiamo alle probabilità



Osserviamo che e sono eventi incompatibili, infatti hanno intersezione vuota. Per uno degli assiomi della Probabilità, la probabilità dell'unione di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle rispettive probabilità, dunque dalla precedente uguaglianza ricaviamo che



Ci siamo quasi, anche se non sembrerebbe! Dividiamo membro a membro per , che è diversa da zero per ipotesi



e otteniamo



Se ricordiamo la formula della probabilità condizionata è facile vedere che



e che



Sostituiamo in



e invertendo in favore di abbiamo la tesi, ossia



Fine!

Lezioni e risorse correlate:

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