Problema di probabilità condizionata con lancio di 2 dadi a 6 facce

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Problema di probabilità condizionata con lancio di 2 dadi a 6 facce #79172

avt
FAQ
Frattale
È noto che vengono lanciati due dadi e bisogna calcolare la probabilità che diano numeri diversi sapendo che uno dei due ha dato 6. Ho provato a usare la formula della probabilità condizionata, ma non conoscendo il risultato non so se quello che ho fatto è corretto.

Si lanciano due dadi a sei facce non truccati. Qual è la probabilità che almeno uno dei due dia 6 sapendo che i dadi danno numeri diversi?
 
 

Problema di probabilità condizionata con lancio di 2 dadi a 6 facce #102456

avt
Galois
Amministratore
Consideriamo il lancio di due dadi a sei facce non truccati e indichiamo 1, 2, 3, 4, 5, 6 i risultati possibili del lancio di un singolo dado.

Chiamiamo E l'evento "almeno uno dei dadi dà 6" ed F l'evento "i dadi danno numeri diversi".

Dobbiamo calcolare P(E|F), ossia la probabilità che si verifichi l'evento E sapendo che si è già verificato l'evento F.

Dalla formula della probabilità condizionata è noto che

P(E|F) = (P(E ∩ F))/(P(F))

Per risolvere il problema dobbiamo allora calcolare P(E ∩ F) e P(F).

La prima cosa da fare è scegliere uno spazio campionario per l'esperimento che consiste nel lancio dei due dadi.

Poiché siamo interessati ai numeri che escono dopo il lancio, prendiamo l'insieme Ω formato dalle coppie ordinate che hanno come prima componente il risultato del lancio del primo dado e come seconda componente il risultato del lancio del secondo dado

Ω = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), ; (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), ; (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), ; (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), ; (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), ; (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

Esplicitiamo poi gli eventi E,F

L'evento E (almeno uno dei dadi dà 6) è il sottoinsieme di Ω che ha per elementi le coppie ordinate in cui almeno una delle componenti è 6

E = (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6) ; (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)

L'evento F (i dadi danno numeri diversi) è invece costituito dalle coppie ordinate (i,j) ∈ Ω tali che i ≠ j:

F = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), ; (2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), ; (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (3,6), ; (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6), ; (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6), ; (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)

Determiniamo poi l'evento intersezione E ∩ F, i cui elementi sono i punti campionari in comune tra E ed F

E ∩ F = (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), ; (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)

A questo punto calcoliamo P(E ∩ F) e P(F) con la formula classica per la probabilità di un evento, cioè come rapporto tra il numero di casi favorevoli per il verificarsi di ciascun evento e il numero di casi possibili. Possiamo farlo perché siamo in presenza di uno spazio campionario finito e con esiti equiprobabili.

Il numero di casi possibili è pari alla cardinalità dell'insieme Ω

# casi possibili = |Ω| = 36

Il numero di casi favorevoli per il verificarsi di E ∩ F è uguale alla cardinalità dell'insieme E ∩ F

# casi favorevoli per E ∩ F = |E ∩ F| = 10

Il numero di casi favorevoli per il verificarsi di F è uguale alla cardinalità dell'insieme F

# casi favorevoli per F = |F| = 30

Di conseguenza

 P(E ∩ F) = (|E ∩ F|)/(|Ω|) = (10)/(36) ; P(F) = (|F|)/(|Ω|) = (30)/(36)

e dunque

P(E|F) = (P(E ∩ F))/(P(F)) = ((10)/(36))/((30)/(36)) = (10)/(36)·(36)/(30) = (1)/(3)

Abbiamo terminato!

Problema di probabilità condizionata con lancio di 2 dadi a 6 facce #102700

avt
YM
Bot
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Os