Esercizio di probabilità con la probabilità condizionata

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Esercizio di probabilità con la probabilità condizionata #79171

avt
FAQ
Frattale
Mi servirebbe una mano per calcolare la probabilità che uno studente scelto a caso sia una ragazza sapendo che suona uno strumento. È uno dei primi esercizi che il libro propone sulla problema condizionata, ma non essendoci esercizi guida non so come risolverlo.

Una classe è composta da 27 studenti, di cui 15 ragazzi e 12 ragazze. Tra questi, 4 ragazzi e 7 ragazze suonano uno strumento. Si sceglie uno studente a caso ed è noto che suona uno strumento. Qual è la probabilità che sia una ragazza?
 
 

Esercizio di probabilità con la probabilità condizionata #102455

avt
Galois
Amministratore
È noto che una classe è formata da 15 ragazzi e da 12 ragazze, per un totale di 27 studenti. Tra questi 4 ragazzi e 7 ragazze suonano uno strumento. Viene scelto uno studente a caso e si deve calcolare la probabilità che sia una una ragazza sapendo che suona uno strumento.

Indichiamo con E l'evento "lo studente è una ragazza" e con F l'evento "lo studente suona uno strumento".

Prendiamo come spazio campionario l'insieme formato dai 27 studenti della classe.

Ω = ω | ω e' uno studente della classe

Dobbiamo calcolare P(E|F), ossia la probabilità condizionata di E rispetto a F. Possiamo farlo con la formula che discende dalla definizione classica di probabilità oppure con la formula della probabilità condizionata.


Utilizzo della definizione classica di probabilità

La scelta di uno studente è un esperimento equo e i risultati possibili sono in numero finito, pertanto possiamo calcolare P(E|F) come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili.

Poiché sappiamo che è stato scelto uno studente che suona uno strumento, i casi possibili sono 11, ossia tutti e soli gli studenti che suonano uno strumento, indipendentemente che siano ragazzi oppure ragazze.

Tra di essi i casi favorevoli sono 4, tanti quanti sono le ragazze che suonano uno strumento.

A questo punto usiamo la formula classica per la probabilità di un evento (rapporto tra numero di casi favorevoli e numero di casi possibili) e otteniamo che

P(E|F) = (7)/(11)


Utilizzo della formula della probabilità condizionata

Dalla formula della probabilità condizionata è noto che

P(E|F) = (P(E ∩ F))/(P(F))

Per calcolare le probabilità a secondo membro riprendiamo lo spazio campionario Ω

Ω = ω | ω e' uno studente della classe

che è formato da 27 punti campionari

|Ω| = 27

e determiniamo il numero di elementi di E ∩ F e di F.

L'evento intersezione E ∩ F è costituito dagli studenti che sono ragazze e che suonano uno strumento, dunque conta 7 elementi

|E ∩ F| = 7

L'evento F (lo studente suona uno strumento) è invece formato da 11 elementi (4 ragazzi + 7 ragazzi)

|F| = 11

Dalla definizione classica di probabilità segue che

 P(E ∩ F) = (|E ∩ F|)/(|Ω|) = (7)/(27) ; P(F) = (|F|)/(|Ω|) = (11)/(27)

e quindi

P(E|F) = (P(E ∩ F))/(P(F)) = ((7)/(27))/((11)/(27)) = (7)/(27)·(27)/(11) = (7)/(11)

Il risultato ottenuto è lo stesso in entrambi i casi e l'esercizio è concluso.

Esercizio di probabilità con la probabilità condizionata #102699

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