Esercizio di probabilità condizionata sull'estrazione di palline da un'urna

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Esercizio di probabilità condizionata sull'estrazione di palline da un'urna #30577

avt
dave919
Punto
È da un po' di tempo che mi sto scervellando con un esercizio di calcolo delle probabilità sulla probabilità condizionata. Vorrei chiedervi se potete aiutarmi a risolverlo.

Si estraggono in blocco sei palline da un'urna che contiene 8 palline rosse, 10 palline verdi e 12 palline blu.

(a) Qual è la probabilità che venga estratta almeno una pallina rossa?

(b) Sapendo che non sono state estratte delle palline rosse, qual è la probabilità condizionata che ci siano esattamente 2 palline verdi tra le 6 palline estratte?
 
 

Esercizio di probabilità condizionata sull'estrazione di palline da un'urna #30708

avt
Galois
Amministratore
Un'urna contiene 8 palline rosse, 10 palline verdi e 12 palline blu, e da essa vengono estratte 6 palline in blocco.

Dobbiamo calcolare:

(a) la probabilità che tra le 6 palline estratte vi sia almeno una pallina rossa;

(b) la probabilità condizionata che tra le 6 palline estratte ci siano esattamente 2 palline verdi sapendo che non c'è nessuna pallina rossa.

Analizziamo i due casi separatamente partendo dal primo.


(a) Probabilità che vi sia almeno una pallina rossa

Denotiamo con E l'evento "tra le sei palline estratte vi è almeno una pallina rossa".

Il metodo più veloce per calcolare P(E) è quello di considerare il suo evento complementare

E^C → nessuna delle 6 palline estratte è rossa

determinare P(E^C) e successivamente calcolare P(E) come differenza tra 1 e P(E^C), ossia usando la formula per la probabilità del complementare

P(E) = 1-P(E^C)

L'estrazione in blocco di 6 palline da un'urna può considerarsi un esperimento equo e i risultati possibili sono in numero finito. Di conseguenza per calcolare P(E^C) serviamoci della formula classica per la probabilità di un evento. In poche parole dividiamo il numero di casi favorevoli per il numero di casi possibili.

I casi possibili sono tanti quanti sono i raggruppamenti di 6 elementi che si possono formare da un insieme che contiene 30 elementi distinti, che sono tutte le palline contenute nell'urna.

Per calcolare quanti sono dobbiamo capire di che tipo di raggruppamenti di tratta. Osserviamo che l'ordine con cui gli elementi si presentano in ogni raggruppamento non ha importanza perché l'estrazione avviene in blocco e che, sempre per lo stesso motivo, i 6 elementi sono diversi tra loro.

In definitiva ogni raggruppamento è una combinazione semplice di classe 6 di 30 elementi distinti. Il numero di tali combinazioni è dato dal coefficiente binomiale 30 su 6, dunque

# casi possibili = binom(30)(6) =

ricordiamo che il coefficiente binomiale n su k, con n ≥ k, è uguale al fattoriale di n diviso il prodotto tra il fattoriale di k e il fattoriale di (n-k)

= (30!)/(6!·(30-6)!) = (30!)/(6!·24!) = 593 775

I casi favorevoli per il verificarsi di E^C (nessuna delle 6 palline estratte è rossa) sono invece i raggruppamenti non ordinati di 6 palline che si possono formare partendo dalle 22 palline non rosse presenti nell'urna (10 verdi + 12 blu), dunque

# casi favorevoli per E^C = binom(22)(6) = 74 613

In definitiva

 P(E^C) = (# casi favorevoli per E^C)/(# casi possibili) = (74 613)/(593 775) = (3 553)/(28 275)

e quindi

P(E) = 1-P(E^C) = 1-(3 553)/(28 275) ≃ 0,874

ossia la probabilità che almeno una delle palline estratte sia rossa è di circa l'87,4%


(b) Probabilità condizionata che tra le 6 palline estratte ci siano esattamente 2 palline verdi sapendo che non c'è nessuna pallina rossa

Indichiamo con F l'evento "tra le 6 palline estratte ci sono due palline verdi". Dobbiamo calcolare P(F|E^C).

Poiché sappiamo che tra le sei palline estratte non c'è nessuna rossa, possiamo sfruttare questa informazione per capire quali sono effettivamente i casi possibili in base all'evento condizionante E^C.

Sapendo che si è verificato E^C, ossia che tra le sei palline estratte non ci sono palline rosse, i casi possibili sono binom(22)(6), che come abbiamo già scritto indica il numero di raggruppamenti di 6 palline che si possono formare con le 22 palline non rosse contenute nell'urna.

Tra essi i casi favorevoli, ossia i raggruppamenti che hanno esattamente due palline verdi, sono

binom(10)(2)·binom(12)(4)

dove

binom(10)(2) è il numero di modi di estrarre 2 palline verdi tra le 10 palline verdi contenute nell'urna;

binom(12)(4) è il numero di modi di estrarre 4 palline tra le 12 blu, ossia tra quelle che non sono né rosse né verdi.

In buona sostanza

P(F|E^C) = (binom(10)(2)·binom(12)(4))/(binom(22)(6)) =

dopo qualche conticino puramente algebrico

= (22 275)/(74 613) ≃ 0,299

È tutto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni, dave919

Esercizio di probabilità condizionata sull'estrazione di palline da un'urna #102704

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