Problema di probabilità con estrazioni di 5 bigliettini

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Problema di probabilità con estrazioni di 5 bigliettini #80445

avt
FAQ
Frattale
Mi servirebbe una mano per risolvere un problema di probabilità circa i risultati di un'estrazione in blocco di 5 bigliettini da una scatola.

Una scatola contiene 26 bigliettini, ciascuno recante una delle 26 lettere dell'alfabeto anglosassone. Calcolare la probabilità che estraendo 5 bigliettini in blocco escano:

(a) le lettere che compongono la parola DRAGO;

(b) 5 consonanti;

(c) 5 vocali;

(d) 3 vocali e 2 consonanti.
 
 

Problema di probabilità con estrazioni di 5 bigliettini #102495

avt
Galois
Amministratore
Consideriamo una scatola con 26 bigliettini, ciascuno dei quali riporta una delle 26 lettere dell'alfabeto anglosassone. Sappiamo che da questa scatola vengono estratti 5 bigliettini in blocco e dobbiamo calcolare la probabilità che escano:

(a) le lettere che compongono la parola DRAGO;

(b) 5 consonanti;

(c) 5 vocali;

(d) 3 vocali e 2 consonanti.

Come spazio campionario per l'esperimento che consiste nell'estrazione in blocco dei 5 bigliettini, scegliamo l'insieme \Omega formato da tutti i raggruppamenti di 5 bigliettini che si possono formare con i 26 bigliettini contenuti nella scatola.

Più esplicitamente gli elementi di \Omega sono tutte e sole le combinazioni semplici di classe 5 di 26 elementi distinti, che sono le 26 lettere dell'alfabeto.

Osserviamo infatti che i 5 bigliettini vengono estratti in blocco, dunque tra essi non vi sono elementi ripetuti, e che l'ordine di estrazione non ha importanza.

Siano poi E_1, E_2, E_3, E_4 \subseteq \Omega i seguenti eventi:

E_1 → si estraggono le lettere D,R,A,G,O;

E_2 → si estraggono 5 consonanti;

E_3 → si estraggono 5 vocali;

E_4 → si estraggono 3 vocali e 2 consonanti.

Per risolvere il problema dobbiamo calcolare le probabilità degli eventi E_1, E_2, E_3, E_4.

Poiché siamo in presenza di un esperimento equo e con un numero finito di risultati possibili, per calcolare le probabilità dei quattro eventi basta dividere il numero di casi favorevoli di ciascun evento per il numero di casi possibili.

I casi possibili sono i punti campionari di \Omega e abbiamo già osservato che sono tanti quante sono le combinazioni semplici di classe 5 di 26 elementi distinti.

Il numero di queste combinazioni è dato dal coefficiente binomiale 26 su 5, dunque

\# \mbox{ casi possibili}=\dbinom{26}{5}=\frac{26!}{5!(26-5)!} = \frac{26!}{5! \cdot 21!}=

il metodo più veloce di svolgere i calcoli è quello di scrivere il fattoriale di 26 come prodotto in cui compare 21!, così da poterlo semplificare con il 21! a denominatore

\\ =\frac{26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21!}{5! \cdot 21!}= \\ \\ \\ = \frac{26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}{120}=65 \ 780

In definitiva

\# \mbox{ casi possibili} = 65 \ 780

Calcoliamo ora il numero di casi favorevoli per il verificarsi di ciascuno degli eventi E_1,E_2,E_3,E_4 e, con essi, determiniamo le probabilità dei quattro eventi.


(a) Casi favorevoli per il verificarsi di E_1 e probabilità di E_1

C'è un unico caso favorevole per il verificarsi dell'evento E_1 (si estraggono le lettere della parola DRAGO) ed è la combinazione formata dalle lettere D, R, A, G, O.

Di conseguenza

\mathbb{P}(E_1)=\frac{\# \mbox{ casi favorevoli per }E_1}{\# \mbox{ casi possibili}} = \frac{1}{65 \ 780}\simeq 0,000015


(b) Casi favorevoli per il verificarsi di E_2 e probabilità di E_2

Le consonanti dell'alfabeto anglosassone sono 21 in tutto, dunque i casi favorevoli per il verificarsi dell'evento E_2 (si estraggono 5 consonanti) sono pari al numero di combinazioni semplici di classe 5 di 16 elementi distinti, ossia

\# \mbox{ casi favorevoli per } E_2 = \dbinom{21}{5}=20 \ 349

quindi

\mathbb{P}(E_2)=\frac{\# \mbox{ casi favorevoli per } E_2}{\# \mbox{ casi possibili}} = \frac{20 \ 349}{65 \ 780}\simeq 0,309


(c) Casi favorevoli per il verificarsi di E_3 e probabilità di E_3

L'evento E_3 (si estraggono 5 vocali) si realizza in un solo caso, infatti tra tutti i casi possibili vi è una sola combinazione che contiene le 5 vocali A, E, I, O, U.

Abbiamo allora che

\mathbb{P}(E_3)=\frac{\# \mbox{ casi favorevoli per } E_3}{\# \mbox{ casi possibili}} = \frac{1}{65 \ 780}\simeq 0,000015


(d) Casi favorevoli per il verificarsi di E_4 e probabilità di E_4

L'evento E_4 (si estraggono 3 vocali e 2 consonanti) si verifica laddove tra i 5 bigliettini estratti vi siano 3 vocali e 2 consonanti, dunque i casi favorevoli sono dati dal prodotto tra

\dbinom{5}{3}=10, che indica il numero delle possibili combinazioni delle 5 vocali prese a gruppi di 3, e

\dbinom{21}{2}=210, che rappresenta il numero delle possibili combinazioni delle 21 consonanti prese a gruppi di 2.

In definitiva

\# \mbox{ casi favorevoli per } E_4= 10 \cdot 210 = 2100

e quindi

\mathbb{P}(E_4)=\frac{\# \mbox{ casi favorevoli per } E_4}{\# \mbox{ casi possibili}} = \frac{2100}{65 \ 780}\simeq 0,0319

Fine!

Problema di probabilità con estrazioni di 5 bigliettini #102750

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