Probabilità di fare un terno secco al Lotto

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Probabilità di fare un terno secco al Lotto #80441

avt
FAQ
Frattale
Qual è la probabilità di fare un terno secco al Lotto? Conosco il risultato, ma vorrei capire come si ottiene. È un esercizio preso da una prova d'esame.

Calcolare la probabilità di fare un terno secco al Lotto sapendo che si sono giocati 3 numeri su una singola ruota.
 
 

Probabilità di fare un terno secco al Lotto #102493

avt
Galois
Amministratore
Supponiamo che vengano giocati tre numeri su una singola ruota nel gioco del Lotto. Dobbiamo calcolare la probabilità di fare un terno secco.

Per ogni ruota del gioco del Lotto si estraggono 5 numeri da un'urna che contiene i numeri interi compresi tra 1 e 90, e si realizza un terno secco se tra i 5 numeri estratti ci sono i 3 numeri giocati.

Prendiamo come spazio campionario l'insieme \Omega formato da tutti i modi in cui si possono estrarre i 5 numeri sulla ruota scelta.

Gli elementi di \Omega sono in numero finito e possiamo assumere che tutti gli esiti possibili siano equiprobabili.

Di conseguenza per calcolare la probabilità dell'evento E "si realizza un terno secco" usiamo la formula classica per la probabilità di un evento. In poche parole calcoliamo \mathbb{P}(E) dividendo il numero di casi favorevoli per il numero di casi possibili

\mathbb{P}(E)=\frac{\# \mbox{ casi favorevoli}}{\# \mbox{ casi possibili}}


Calcolo del numero di casi possibili

I casi possibili sono gli elementi di \Omega, ossia sono i raggruppamenti di 5 elementi che si possono formare con i 90 numeri contenuti nell'urna di estrazione.

Per calcolare quanti sono osserviamo che ognuno di questi raggruppamenti è una combinazione semplice di classe 5 di 90 elementi distinti, infatti:

- l'ordine con cui vengono estratti i cinque numeri non ha importanza;

- in ogni raggruppamento non ci possono essere elementi ripetuti perché l'estrazione avviene senza rimpiazzo, ossia senza rimettere i numeri estratti nell'urna.

Applichiamo allora la formula per il numero di combinazioni semplici di classe k di n elementi distinti (con n \ge k)

C_{n,k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

e sostituiamo n=90 e k=5

C_{90,5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}=\frac{90!}{5! \cdot 85!}=

per la definizione ricorsiva di fattoriale

=\frac{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85!}{5! \cdot 85!}=

semplifichiamo i due 85! e svolgiamo i calcoli

=\frac{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86}{120}=43 \ 949 \ 268

In definitiva

\# \mbox{ casi possibili} = 43 \ 949 \ 268


Calcolo del numero di casi favorevoli

Tra i casi possibili, quelli favorevoli per il verificarsi di E sono i raggruppamenti che contengono i 3 numeri da noi giocati più altri 2 numeri qualsiasi tra gli 87 rimasti.

Il numero di casi favorevoli è quindi uguale al numero di combinazioni semplici di classe 2 di 87 elementi distinti

\\ \# \mbox{ casi favorevoli}= C_{87,2}=\frac{87!}{2!(87-2)!}= \\ \\ \\ = \frac{87 \cdot 86 \cdot 85!}{2 \cdot 85!} = \frac{87 \cdot 86}{2}=3741


Probabilità di fare terno secco al Lotto su una ruota

Calcoliamo il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili

\mathbb{P}(E)=\frac{\# \mbox{ casi favorevoli}}{\# \mbox{ casi possibili}} = \frac{3741}{43 \ 949 \ 268} \simeq 0,000085

e otteniamo che la probabilità di fare terno secco al Lotto su una ruota è di circa lo 0,0085%.

È tutto!

Probabilità di fare un terno secco al Lotto #102747

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