Spazio campionario ed eventi in un'estrazione di due palline senza restituzione

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Spazio campionario ed eventi in un'estrazione di due palline senza restituzione #78780

avt
FAQ
Frattale
In un esercizio di probabilità si deve definire uno spazio campionario per poi esplicitare i punti campionari di più eventi. Mi aiutereste a risolverlo?

Un'urna contiene due palline bianche b_1, b_2 e una pallina nera n. Si estraggono consecutivamente due palline tenendole fuori dall'urna.

Scrivere un appropriato spazio campionario ed esplicitare i punti campionari degli eventi:

E_1 → la pallina b_1 è la prima estratta;

E_2 → la prima pallina estratta è bianca;

E_3 → le due palline hanno colori diversi;

E_4 → le palline sono entrambe nere.
 
 

Spazio campionario ed eventi in un'estrazione di due palline senza restituzione #102419

avt
Galois
Amministratore
Abbiamo un'urna che contiene tre palline, di cui due bianche (b_1,b_2) e una nera (n). Sappiamo che vengono estratte due palline senza restituzione e dobbiamo:

(a) scrivere un opportuno spazio campionario;

(b) esplicitare i punti campionari degli eventi:

E_1 → la pallina b_1 è la prima estratta;

E_2 → la prima pallina estratta è bianca;

E_3 → le due palline hanno colori diversi;

E_4 → le palline sono entrambe nere.


(a) Spazio campionario dell'esperimento

Si definisce spazio campionario l'insieme di tutti i risultati possibili di un esperimento casuale, che in questo caso è l'estrazione senza restituzione di due palline da un'urna che contiene le tre palline b_1,b_2,n.

La prima pallina estratta può essere una tra b_1,b_2,n.

Poiché la pallina presa non viene rimessa nell'urna:

- se la prima pallina estratta è stata b_1, nella seconda estrazione si può presentare una tra b_2,n;

- se la prima pallina estratta è stata b_2, nella seconda estrazione si può presentare una tra b_1,n;

- se la prima pallina estratta è stata n, nella seconda estrazione si può presentare una tra b_1,b_2.

In definitiva i risultati possibili dell'esperimento sono

\\ (b_1,b_2) \ \ ; \ \ (b_1,n) \\ \\ (b_2,b_1) \ \ ; \ \ (b_2,n) \\ \\ (n,b_1) \ \ ; \ \ (n,b_2)

e quindi come spazio campionario consideriamo l'insieme

\Omega=\{(b_1,b_2), \ (b_1,n), \ (b_2,b_1), \ (b_2,n), \ (n,b_1), \ (n,b_2)\}

Prima di procedere oltre è bene notare che gli elementi di \Omega sono le disposizioni semplici di classe 2 degli elementi b_1,b_2,n, che sono proprio 6.


Punti campionari degli eventi E_1,E_2,E_3,E_4

I punti campionari degli eventi E_1,E_2,E_3,E_4 sono gli elementi dello spazio campionario \Omega che verificano ciascuno degli eventi.

Da ciò deduciamo che:

- i punti campionari dell'evento

E_1 → la pallina b_1 è la prima estratta

sono gli elementi di \Omega che hanno in prima posizione b_1, ossia

E_1=\{(b_1,b_2), \ (b_1,n)\}

- I punti campionari dell'evento

E_2 → la prima pallina estratta è bianca

sono gli elementi di \Omega che hanno in prima posizione b_1 oppure b_2

E_2=\{(b_1,b_2), \ (b_1,n), \ (b_2,b_1), \ (b_2,n)\}

- I punti campionari dell'evento

E_3 → le due palline hanno colori diversi sono

sono gli elementi di \Omega formati da due palline di colore diverso

E_3=\{(b_1,n), \ (b_2,n), \ (n,b_1), \ (n,b_2)\}

- Infine, per quanto riguarda l'evento

E_4 → le palline sono entrambe nere

osserviamo che non c'è alcun punto campionario di \Omega che lo verifica, dunque E_4 è un evento impossibile

E_4=\emptyset

È fatta!

Spazio campionario ed eventi in un'estrazione di due palline senza restituzione #102654

avt
YM
Bot
Altri riferimenti e risorse utili:

- evento in Probabilità

- esercizi sugli eventi in Probabilità
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