Descrivere alcuni eventi in un'estrazione di tre palline con reimmissione

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Descrivere alcuni eventi in un'estrazione di tre palline con reimmissione #78657

avt
FAQ
Frattale
Tra i primi esercizi di probabilità proposti dal mio libro ce ne sono parecchi che chiedono di determinare gli insiemi corrispondenti a una serie di eventi. Non ho nessun esempio guida, quindi mi affido a voi.

Un'urna contiene una pallina bianca e una pallina nera. Si estraggono consecutivamente tre palline rimettendo ogni volta la pallina estratta nell'urna. Definire un opportuno spazio campionario \Omega e determinare gli insiemi corrispondenti ai seguenti eventi:

E_1 → vengono estratte tre palline nere;

E_2 → vengono estratte tre palline di colore diverso;

E_3 → la prima pallina estratta è bianca;

E_4 → solo una delle palline estratte è bianca;

E_5 → vengono estratte almeno due palline dello stesso colore.
 
 

Descrivere alcuni eventi in un'estrazione di tre palline con reimmissione #102418

avt
Galois
Amministratore
Consideriamo l'esperimento casuale che consiste nell'estrarre una pallina da un'urna per tre volte consecutive e nel rimettere la pallina nell'urna dopo ogni estrazione.

Sappiamo che l'urna contiene due palline, una bianca e una nera, che indichiamo con b e n rispettivamente.

Ci viene chiesto di definire un idoneo spazio campionario \Omega e di determinare gli insiemi corrispondenti ai seguenti eventi:

E_1 → vengono estratte tre palline nere;

E_2 → vengono estratte tre palline di colore diverso;

E_3 → la prima pallina estratta è bianca;

E_4 → solo una delle palline estratte è bianca;

E_5 → vengono estratte almeno due palline dello stesso colore.

Procediamo!


Definizione di uno spazio campionario per l'esperimento

Uno spazio campionario \Omega è l'insieme di tutti gli esiti possibili di un esperimento aleatorio.

Il nostro esperimento consiste nell'estrarre una pallina da un'urna (che contiene una pallina bianca e una nera), rimetterla nell'urna e ripetere l'estrazione per altre due volte con le stesse modalità.

Poiché l'estrazione avviene con reintegro, dopo ogni singola estrazione possiamo ottenere la pallina bianca oppure quella nera, dunque gli esiti possibili dell'esperimento sono tutte le terne ordinate di tre palline che si possono formare con la pallina bianca (b) e la pallina nera (n), ossia:

\\ (b,b,b) \ \ ; \ \ (b,b,n) \\ \\ (b,n,b) \ \ ; \ \ (b,n,n) \\ \\ (n,b,b) \ \ ; \ \ (n,b,n) \\ \\ (n,n,b) \ \ ; \ \ (n,n,n)

In definitiva come spazio campionario per l'esperimento prendiamo l'insieme

\Omega=\left\{\begin{matrix}(b,b,b),&(b,b,n),&(b,n,b),&(b,n,n) \\ (n,b,b),&(n,b,n),&(n,n,b),&(n,n,n)\end{matrix}\right\}

Se hai già studiato qualcosa di Calcolo Combinatorio, è bene notare che i punti campionari di \Omega sono le disposizioni con ripetizione di classe 3 dei 2 elementi distinti a,b, che guarda caso sono proprio 8.


Elementi dell'evento E_1

Un evento in Probabilità è un qualsiasi sottoinsieme, proprio o improprio, dello spazio campionario che è stato scelto per descrivere l'esperimento.

Più nello specifico gli elementi di un evento sono i punti campionari di \Omega che verificano l'evento.

Ciò premesso l'insieme corrispondente all'evento

E_1 → vengono estratte tre palline nere

è

E_1=\{(n,n,n)\}


Elementi dell'evento E_2

E_2 è l'evento "vengono estratte tre palline di colore diverso".

Se osserviamo i punti campionari di \Omega è facile vedere che non vi sono risultati possibili dell'esperimento tali da verificare E_2. Di conseguenza E_2 è un evento impossibile e corrisponde all'insieme vuoto

E_2=\emptyset


Elementi dell'evento E_3

Per rappresentare sotto forma di insieme l'evento

E_3 → la prima pallina estratta è bianca

basta stabilire quali sono i punti i punti campionari di \Omega in cui il primo elemento della terzina è la b. Essi sono

(b,b,b) \ \ ; \ \ (b,b,n) \ \ ; \ \ (b,n,b) \ \ ; \ \ (b,n,n)

dunque

E_3=\left\{(b,b,b), \ (b,b,n), \ (b,n,b), \ (b,n,n)\right\}


Elementi dell'evento E_4

Gli elementi dell'insieme che rappresenta l'evento

E_4 → solo una delle palline estratte è bianca

sono i punti campionari di \Omega che hanno una sola b, indipendentemente dalla sua posizione nella terzina, pertanto

E_4=\left\{(b,n,n), \ (n,b,n), \ (n,n,b)\right\}


Elementi dell'evento E_5

E_5 è l'evento "vengono estratte almeno due palline dello stesso colore", dunque l'insieme che lo rappresenta ha per elementi i punti campionari di \Omega che hanno almeno due b o almeno due n.

È facile vedere che tutti i punti campionari di \Omega hanno almeno due lettere uguali, per cui E_5 coincide con l'intero spazio campionario, ossia è un evento certo.

E_5=\Omega

L'esercizio è concluso!

Descrivere alcuni eventi in un'estrazione di tre palline con reimmissione #102653

avt
YM
Bot
Altri riferimenti e risorse utili:

- evento in Probabilità

- esercizi sugli eventi in Probabilità
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