Descrivere alcuni eventi in un'estrazione di tre palline con reimmissione

Tra i primi esercizi di probabilità proposti dal mio libro ce ne sono parecchi che chiedono di determinare gli insiemi corrispondenti a una serie di eventi. Non ho nessun esempio guida, quindi mi affido a voi.

Un'urna contiene una pallina bianca e una pallina nera. Si estraggono consecutivamente tre palline rimettendo ogni volta la pallina estratta nell'urna. Definire un opportuno spazio campionario e determinare gli insiemi corrispondenti ai seguenti eventi:

→ vengono estratte tre palline nere;

→ vengono estratte tre palline di colore diverso;

→ la prima pallina estratta è bianca;

→ solo una delle palline estratte è bianca;

→ vengono estratte almeno due palline dello stesso colore.

Consideriamo l'esperimento casuale che consiste nell'estrarre una pallina da un'urna per tre volte consecutive e nel rimettere la pallina nell'urna dopo ogni estrazione.

Sappiamo che l'urna contiene due palline, una bianca e una nera, che indichiamo con e rispettivamente.

Ci viene chiesto di definire un idoneo spazio campionario e di determinare gli insiemi corrispondenti ai seguenti eventi:

→ vengono estratte tre palline nere;

→ vengono estratte tre palline di colore diverso;

→ la prima pallina estratta è bianca;

→ solo una delle palline estratte è bianca;

→ vengono estratte almeno due palline dello stesso colore.

Procediamo!


Definizione di uno spazio campionario per l'esperimento

Uno spazio campionario è l'insieme di tutti gli esiti possibili di un esperimento aleatorio.

Il nostro esperimento consiste nell'estrarre una pallina da un'urna (che contiene una pallina bianca e una nera), rimetterla nell'urna e ripetere l'estrazione per altre due volte con le stesse modalità.

Poiché l'estrazione avviene con reintegro, dopo ogni singola estrazione possiamo ottenere la pallina bianca oppure quella nera, dunque gli esiti possibili dell'esperimento sono tutte le terne ordinate di tre palline che si possono formare con la pallina bianca e la pallina nera , ossia:



In definitiva come spazio campionario per l'esperimento prendiamo l'insieme



Se hai già studiato qualcosa di Calcolo Combinatorio, è bene notare che i punti campionari di sono le disposizioni con ripetizione di classe 3 dei 2 elementi distinti , che guarda caso sono proprio 8.


Elementi dell'evento

Un evento in Probabilità è un qualsiasi sottoinsieme, proprio o improprio, dello spazio campionario che è stato scelto per descrivere l'esperimento.

Più nello specifico gli elementi di un evento sono i punti campionari di che verificano l'evento.

Ciò premesso l'insieme corrispondente all'evento

→ vengono estratte tre palline nere

è




Elementi dell'evento

è l'evento "vengono estratte tre palline di colore diverso".

Se osserviamo i punti campionari di è facile vedere che non vi sono risultati possibili dell'esperimento tali da verificare . Di conseguenza è un evento impossibile e corrisponde all'insieme vuoto




Elementi dell'evento

Per rappresentare sotto forma di insieme l'evento

→ la prima pallina estratta è bianca

basta stabilire quali sono i punti i punti campionari di in cui il primo elemento della terzina è la . Essi sono



dunque




Elementi dell'evento

Gli elementi dell'insieme che rappresenta l'evento

→ solo una delle palline estratte è bianca

sono i punti campionari di che hanno una sola , indipendentemente dalla sua posizione nella terzina, pertanto




Elementi dell'evento

è l'evento "vengono estratte almeno due palline dello stesso colore", dunque l'insieme che lo rappresenta ha per elementi i punti campionari di che hanno almeno due o almeno due .

È facile vedere che tutti i punti campionari di hanno almeno due lettere uguali, per cui coincide con l'intero spazio campionario, ossia è un evento certo.



L'esercizio è concluso!

Altri riferimenti e risorse utili:

- evento in Probabilità

- esercizi sugli eventi in Probabilità