Quesito sull'esistenza di un insieme conoscendo il numero di disposizioni semplici

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Quesito sull'esistenza di un insieme conoscendo il numero di disposizioni semplici #75086

avt
riccardo423
Punto
Potreste aiutarmi a risolvere un quesito sull'esistenza di un insieme di cui si conosce il numero di disposizioni semplici di classe 2 dei suoi elementi? Vi riporto la traccia esatta dell'esercizio, così come è stata dettata dal mio professore.

Stabilire se esiste un insieme tale che le disposizioni semplici di classe 2 dei suoi elementi siano 15.
 
 

Quesito sull'esistenza di un insieme conoscendo il numero di disposizioni semplici #75087

avt
Galois
Amministratore
Consideriamo due numeri naturali n,k, con n \ge k, e ricordiamo che il numero di disposizioni semplici di classe k di n elementi di un insieme è uguale al rapporto tra il fattoriale di n e il fattoriale di (n-k)

D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}

Di conseguenza affinché esista un insieme tale che le disposizioni di classe 2 dei suoi elementi siano 15, deve esistere un numero naturale n\ge 2 tale che soddisfi la seguente uguaglianza

\frac{n!}{(n-2)!}=15

La risposta al quesito si è quindi ricondotta alla risoluzione di un'equazione con fattoriali.

Per la definizione ricorsiva di fattoriale

n! = n \cdot (n-1)! =

applicando nuovamente la definizione ricorsiva a (n-1)!

=n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!

Sostituiamo nel numeratore del primo membro dell'equazione

\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!}=15

e semplifichiamo il denominatore con il fattore (n-2)! presente a numeratore

n \cdot (n-1)=15

Dopo aver svolto il prodotto e portato tutto a primo membro otteniamo la seguente equazione di secondo grado nell'incognita n

n^2-n-15=0

che ammette come soluzioni due numeri irrazionali.

Abbiamo infatti un'equazione della forma

an^2+bn+c=0

con

a=1 \ \ ; \ \ b=-1 \ \ ; \ \ c=-15

Il discriminante a essa associato è uguale a 61

\\ \Delta = b^2-4ac = \\ \\ = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = \\ \\ = 1+60 = 61

che non è un quadrato perfetto. Di conseguenza la sua radice quadrata è un numero irrazionale, e tali saranno anche le due soluzioni dell'equazione.

Quanto scritto fin qui permette di concludere che non esiste un numero naturale n tale che

\frac{n!}{(n-2)!}=15

e quindi che non esiste nessun insieme di n elementi tale che il numero di disposizioni semplici dei suoi elementi sia uguale a 15.

Fine!
Ringraziano: Omega, riccardo423

Quesito sull'esistenza di un insieme conoscendo il numero di disposizioni semplici #102573

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YM
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