Quesito sull'esistenza di un insieme conoscendo il numero di disposizioni semplici

Potreste aiutarmi a risolvere un quesito sull'esistenza di un insieme di cui si conosce il numero di disposizioni semplici di classe 2 dei suoi elementi? Vi riporto la traccia esatta dell'esercizio, così come è stata dettata dal mio professore.

Stabilire se esiste un insieme tale che le disposizioni semplici di classe 2 dei suoi elementi siano 15.

Consideriamo due numeri naturali , con , e ricordiamo che il numero di disposizioni semplici di classe di elementi di un insieme è uguale al rapporto tra il fattoriale di e il fattoriale di



Di conseguenza affinché esista un insieme tale che le disposizioni di classe 2 dei suoi elementi siano 15, deve esistere un numero naturale tale che soddisfi la seguente uguaglianza



La risposta al quesito si è quindi ricondotta alla risoluzione di un'equazione con fattoriali.

Per la definizione ricorsiva di fattoriale



applicando nuovamente la definizione ricorsiva a



Sostituiamo nel numeratore del primo membro dell'equazione



e semplifichiamo il denominatore con il fattore presente a numeratore



Dopo aver svolto il prodotto e portato tutto a primo membro otteniamo la seguente equazione di secondo grado nell'incognita



che ammette come soluzioni due numeri irrazionali.

Abbiamo infatti un'equazione della forma



con



Il discriminante a essa associato è uguale a 61



che non è un quadrato perfetto. Di conseguenza la sua radice quadrata è un numero irrazionale, e tali saranno anche le due soluzioni dell'equazione.

Quanto scritto fin qui permette di concludere che non esiste un numero naturale tale che



e quindi che non esiste nessun insieme di elementi tale che il numero di disposizioni semplici dei suoi elementi sia uguale a 15.

Fine!

Lezioni e schede di esercizi di riferimento:

- disposizioni

- disposizioni semplici

- disposizioni con ripetizione

- esercizi sulle disposizioni