Problema d'urna con le formule di Calcolo Combinatorio

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Problema d'urna con le formule di Calcolo Combinatorio #740

avt
Maty92
Punto
Un problema d'urna chiede di essere risolto con le formule di Calcolo Combinatorio. A una prima lettura pensavo di riuscirci, ma dopo averci provato mi sono sorti un sacco di dubbi e mi sono bloccato. Mi aiutereste?

Un'urna contiene 15 palline, di cui 8 rosse e 7 blu. Vengono estrarre due palline senza reimmissione. Ricorrendo alle formule di Calcolo Combinatorio, calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia rossa e la seconda sia blu.
 
 

Problema d'urna con le formule di Calcolo Combinatorio #742

avt
Galois
Amministratore
Vengono estratte due palline, l'una di seguito all'altra e senza reimmissione, da un'urna che contiene 8 palline rosse e 7 palline blu. Dobbiamo calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia rossa e che la seconda sia blu usando le formule di Calcolo Combinatorio.

Procediamo! Indichiamo con E l'evento "si estrae una pallina rossa e poi pallina blu", e calcoliamo \mathbb{P}(E) con la formula classica per la probabilità di un evento, ossia dividendo il numero di casi favorevoli per il verificarsi di E per il numero di casi possibili

\mathbb{P}(E)=\frac{\# \mbox{ casi favorevoli}}{\# \mbox{ casi possibili}}

Possiamo farlo perché l'esperimento casuale relativo all'estrazione senza reintegro di due palline da un'urna è un esperimento equo e con un numero finito di risultati possibili, visto che l'urna contiene un numero finito di palline.

Calcoliamo allora il numero di casi possibili e il numero di casi favorevoli.


Calcolo del numero di casi possibili

I casi possibili sono tutti e soli i raggruppamenti di 2 palline che si possono formare con le 15 palline contenute nell'urna.

Per calcolare quanti sono dobbiamo capire di che tipo di raggruppamenti si tratta. Osserviamo che:

- le palline vengono estratte l'una dopo l'altra e che nel calcolo della probabilità dell'evento E si deve tenere conto dell'ordine di estrazione;

- le estrazioni avvengono senza reimmissione, dunque le palline di ogni raggruppamento sono diverse tra loro.

Da ciò deduciamo che i casi possibili sono tanti quante sono le disposizioni semplici di classe 2 di 15 elementi distinti.

Il numero di disposizioni semplici di classe k di n elementi distinti, con k \le n, è uguale al rapporto tra il fattoriale di n e il fattoriale di n-k

D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}

per cui

\\ \#\mbox{ casi possibili} = D_{15,2}=\frac{15!}{(15-2)!}=\frac{15!}{13!}= \\ \\ \\ = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{13!}=15 \cdot 14 = 210

I casi possibili sono 210.


Calcolo del numero di casi favorevoli

Il numero di casi favorevoli per E sono

\# \mbox{ casi favorevoli} = 8 \cdot 7 = 56

dove 8 e 7 rappresentano, rispettivamente, il numero di modi con cui si può estrarre una pallina rossa e una pallina blu dall'urna.


Probabilità dell'evento E

Ci siamo! Per calcolare \mathbb{P}(E) basta dividere il numero di casi favorevoli per quello dei casi possibili:

\mathbb{P}(E)=\frac{\# \mbox{ casi favorevoli}}{\# \mbox{ casi possibili}}=\frac{56}{210}= 0,2\overline{6}

La probabilità di estrarre una pallina rossa seguita da una pallina blu è uguale a circa 0,27, e il problema è risolto.
Ringraziano: Omega
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Os