Problema d'urna con le formule di Calcolo Combinatorio

Un problema d'urna chiede di essere risolto con le formule di Calcolo Combinatorio. A una prima lettura pensavo di riuscirci, ma dopo averci provato mi sono sorti un sacco di dubbi e mi sono bloccato. Mi aiutereste?

Un'urna contiene 15 palline, di cui 8 rosse e 7 blu. Vengono estrarre due palline senza reimmissione. Ricorrendo alle formule di Calcolo Combinatorio, calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia rossa e la seconda sia blu.

Vengono estratte due palline, l'una di seguito all'altra e senza reimmissione, da un'urna che contiene 8 palline rosse e 7 palline blu. Dobbiamo calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia rossa e che la seconda sia blu usando le formule di Calcolo Combinatorio.

Procediamo! Indichiamo con l'evento "si estrae una pallina rossa e poi pallina blu", e calcoliamo con la formula classica per la probabilità di un evento, ossia dividendo il numero di casi favorevoli per il verificarsi di per il numero di casi possibili



Possiamo farlo perché l'esperimento casuale relativo all'estrazione senza reintegro di due palline da un'urna è un esperimento equo e con un numero finito di risultati possibili, visto che l'urna contiene un numero finito di palline.

Calcoliamo allora il numero di casi possibili e il numero di casi favorevoli.


Calcolo del numero di casi possibili

I casi possibili sono tutti e soli i raggruppamenti di 2 palline che si possono formare con le 15 palline contenute nell'urna.

Per calcolare quanti sono dobbiamo capire di che tipo di raggruppamenti si tratta. Osserviamo che:

- le palline vengono estratte l'una dopo l'altra e che nel calcolo della probabilità dell'evento si deve tenere conto dell'ordine di estrazione;

- le estrazioni avvengono senza reimmissione, dunque le palline di ogni raggruppamento sono diverse tra loro.

Da ciò deduciamo che i casi possibili sono tanti quante sono le disposizioni semplici di classe 2 di 15 elementi distinti.

Il numero di disposizioni semplici di classe di elementi distinti, con , è uguale al rapporto tra il fattoriale di e il fattoriale di



per cui



I casi possibili sono 210.


Calcolo del numero di casi favorevoli

Il numero di casi favorevoli per sono



dove 8 e 7 rappresentano, rispettivamente, il numero di modi con cui si può estrarre una pallina rossa e una pallina blu dall'urna.


Probabilità dell'evento

Ci siamo! Per calcolare basta dividere il numero di casi favorevoli per quello dei casi possibili:



La probabilità di estrarre una pallina rossa seguita da una pallina blu è uguale a circa 0,27, e il problema è risolto.