Esercizio sul calcolo della probabilità di estrazione di matite difettose

Vi propongo un problema sul calcolo della probabilità di estrarre 4 matite da un contenitore che ne contiene 100, di cui 12 difettose. Il libro suggerisce di usare le formule di Calcolo Combinatorio, ma non ho proprio idee su come procedere.

In un contenitore vi sono 100 matite diverse tra loro, di cui 12 difettose. Si prendono 4 matite a caso, tutte insieme. Calcolare la probabilità di prendere:

(a) 4 non matite non difettose;

(b) 4 matite difettose.

È noto che vengono estratte in blocco 4 matite da un contenitore che contiene 100 matite tutte diverse tra loro, di cui 12 difettose.

Dobbiamo calcolare la probabilità degli eventi:

→ si estraggono 4 matite non difettose;

→ si estraggono 4 matite difettose.

Poiché siamo in presenza di un esperimento equo, calcoliamo le probabilità degli eventi come rapporto tra il numero di casi favorevoli per il verificarsi di ciascun evento e il numero di casi possibili.




Numero di casi possibili

Per entrambi gli eventi i casi possibili sono tanti quanti sono i modi di estrarre 4 matite dal contenitore. Per calcolare quanti sono non possiamo fare altro se non usare le formule di Calcolo Combinatorio.

Poiché le matite vengono estratte in blocco, l'ordine di estrazione di ogni singola matita non ha importanza. Inoltre le 4 matite che vengono prese dal contenitore sono diverse tra loro, dunque le possibili estrazioni di 4 matite sono combinazioni semplici di classe 4 di 100 elementi distinti, dove questi elementi sono le 100 matite nel contenitore.

In generale il numero di combinazioni semplici di classe di elementi distinti, con , si indica con ed è uguale al coefficiente binomiale su



dove e indicano i fattoriali di e di rispettivamente.

Sostituiamo e , e svolgiamo i calcoli



scriviamo 100! come prodotto in cui compare 96!, così da poterlo semplificare con quello a denominatore



I casi possibili sono quindi 3921225.




Numero di casi favorevoli per il verificarsi di

Per calcolare il numero di casi favorevoli per il verificarsi di (si prendono 4 matite non difettose) basta calcolare il numero di combinazioni semplici di classe 4 di 88 elementi, dove 88 è il numero di matite non difettose nel contenitore.



Di conseguenza il numero casi favorevoli per il verificarsi di è 2331890.




Numero di casi favorevoli per il verificarsi di

Le matite difettose nel contenitore sono 12, dunque i casi favorevoli per il verificarsi di (si prendono 4 matite difettose) sono tanti quante sono le combinazioni semplici di classe 4 di 12 elementi distinti



In definitiva




Probabilità degli eventi

Dal rapporto tra il numero di casi favorevoli di ciascun evento e il numero di casi possibili otteniamo che



Abbiamo terminato!

Lezioni e schede correlate:

- probabilità di un evento

- esercizi sul calcolo della probabilità degli eventi