Partizione insieme con numeri naturali e resto

Ciao, mi servirebbe un consiglio per un esercizio sulla partizione di un insieme formato da alcuni numeri naturali.

Sono nuovo del forum e di YouMath, attualmente sto aiutando delle ragazze del primo liceo con i problemi di matematica e ieri mi è capitato questo esercizio: trovare una partizione dell'insieme formato da i primi 15 numeri naturali che divisi per 3 diano lo stesso resto.


Dunque poiché per il concetto di partizione devo trovare dei sottoinsiemi che non abbiano alcun elemento in comune e che sommati tra loro mi diano l'insieme di partenza ho ragionato così: uno è formato dai multipli di tre in quanto danno lo stesso resto che è zero...per l'altro sottoinsieme come posso ragionare?

Ciao puoi trovare un insieme che dia resto 1 ad esempio i numeri 1,4 .7 ecc.
e poi un insieme che abbia resto 2 a cui appartengono i numeri 2,5,8,11 e 14.
cosi facendo hai partizionato l'insieme di partenza in tre sottoinsiemi che al loro interno godono della proprieta di avere lo stesso resto.

Ciao marcothomas81

Abbiamo l'insieme (che chiamo ) formato dai primi 15 numeri naturali, ovvero:



Dobbiamo trovare una partizione dell'insieme basandoci sul resto della divisione dei suoi elementi per 3.

Prima di procedere ti faccio osservare che l'insieme A potrebbe variare. Ciò dipende da quello che il libro da cui è tratto l'esercizio intende con insieme dei numeri naturali, cioè se include o meno lo zero. Poiché, per quanto ci riguarda, consideriamo lo zero un numero naturale, l'ho incluso nell'insieme A. Nell'altra ipotesi partirai da 1 per arrivare a 15 ma il ragionamento che ora vedremo non cambia.

Ora, una divisione per 3 può dare come resto, zero, uno o due.

Divideremo quindi l'insieme A in tre sottoinsiemi:

che conterrà gli elementi di la cui divisione per 3 dà come resto zero (ovvero tutti i multipli di 3)

che conterrà gli elementi di la cui divisione per 3 dà come resto 1, ed infine

che conterrà gli elementi di la cui divisione per 3 dà come resto 2.

Avremo quindi:







E, come possiamo facilmente verificare, tali insiemi formano effettivamente una partizione di . Infatti:

- nessuno di essi è l'insieme vuoto;

- la loro unione (e non somma) ci dà tutto A:



- sono a due a due disgiunti, cioè presi a due a due la loro intersezione è vuota.

Hai ragione, grazie tante! io mi ero bloccato ragionando sui multipli!