Conteggio dei numeri il cui prodotto delle cifre vale zero

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Conteggio dei numeri il cui prodotto delle cifre vale zero #66153

avt
bee89
Punto
Buon pomeriggio a tutti, sono ancora alle prese con degli esercizi di logica combinatoria sempre sul conteggio di elementi di un sottoinsieme di numeri naturali. Ho un serio dubbio su questo esercizio:

quanti sono i numeri naturali dispari di 4 cifre tali che il prodotto delle loro cifre valga 0?


Adesso visto che ho sempre saputo per certo che lo zero fosse un numero pari, come è possibile che il prodotto di 4 cifre deve valere zero? Quindi devo considerare 4 cifre o cinque, visto che per fare zero questi elementi devono essere moltiplicati per zero? Ma sopratutto come diavolina fa a risultare 855?... aiuto, seriamente aiuto! emt

Stavo ragionando sul fatto che i numeri dispari sono 5, cioè 1, 3, 5, 7, 9, quindi abbiamo 5 elementi da combinare in 4 posizioni anzi 3 posizioni perché un posizione deve essere occupata dallo zero che essendo un solo elemento, può essere combinato in 24 modi. Non essendo specificato nel testo se questi elementi possono ripetersi più di una volta ho usato la formula di combinazione con ripetizione, e ovviamente non risulta...emt
 
 

Conteggio dei numeri il cui prodotto delle cifre vale zero #66202

avt
Galois
Coamministratore
Ciao bee89 emt

Non intestardirti con le formule del calcolo combinatorio altrimenti, purtroppo, non ce la farai mai a portare a casa l'esercizio emt

Cioè, non è detto che un esercizio lo riesci risolvere utilizzando una sola formula!

Hai utilizzato le combinazioni con ripetizione. Perché?

Clicca sul link. Una delle caratteristiche delle permutazioni con ripetizione è che (riporto pari pari dalla lezione:

ogni raggruppamento differisca dagli altri per almeno un elemento e non per l'ordine


Se ad esempio ho i due numeri:

3021 \ \mbox{e} \ 1203

sono entrambi due numeri dispari di 4 cifre il cui prodotto delle cifre è zero e come puoi ben vedere sono formati dalle stesse cifre! Infatti per formarli ho semplicemente cambiato l'ordine delle stesse. Le combinazioni con ripetizione contano tutti questi numeri una sola volta proprio perché non tengono conto dell'ordine.

Chiarito questo veniamo al tuo problema:

Quanti sono i numeri naturali dispari di 4 cifre tali che il prodotto delle loro cifre valga 0?


Allora:

come hai ben notato, dovendo essere il numero dispari, l'ultima cifra può essere:

1, \ 2, \ 3, \ 5, \  \mbox{o} \ 9

cioè può variare in {\color{red}5} \ \mbox{modi}

Ora, la prima cifra, non potendo essere uno zero (altrimenti il numero diventerebbe di 3 cifre) può variare in

{\color{red}9} \ \mbox{modi}

ovvero può essere una tra:

1, \ 2, \ 3, \ 5, \  6, \ 7, \ 8, \ \mbox{o} \ 9

Veniamo ora alle due cifre centrali.

Una delle due, affinché il prodotto sia zero, deve essere necessariamente 0, l'altra può essere una qualsiasi tra le 10 cifre.

Le possibili combinazioni sono:

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09

e al contrario, ovvero:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

senza dimenticarci della coppia 00

Cioè le cifre centrali possono variare in

{\color{red}18} \ \mbox{modi}

Pertanto i numeri che soddisfano la nostra condizione saranno:

5 \cdot 9 \cdot 18 = 855

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, bee89
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Os