Conteggio dei numeri il cui prodotto delle cifre vale zero

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Conteggio dei numeri il cui prodotto delle cifre vale zero #66153

avt
bee89
Punto
Sono sempre alle prese con problemi di Calcolo Combinatorio sul conteggio di alcuni particolari tipi di numeri naturali. Questa volta non so davvero che formula usare. L'unica cosa che sono riuscito a fare è stata quella di escludere le permutazioni. Per il resto non so come muovermi.

Quanti sono i numeri naturali dispari di quattro cifre tali che il prodotto delle loro cifre valga zero?
 
 

Conteggio dei numeri il cui prodotto delle cifre vale zero #66202

avt
Galois
Amministratore
Ci viene chiesto di stabilire quanti sono i numeri naturali dispari di 4 cifre e tali che il prodotto delle loro cifre sia uguale a zero.

Prima di spiegare come si procede è bene chiarire che per risolvere un problema di Calcolo Combinatorio non siamo costretti a ricondurci sempre e comunque a una delle formule notevoli. In alcuni casi, e questo problema ne è un esempio, è molto più semplice farsi guidare solo dal ragionamento, senza intestardirsi nella scelta tra permutazioni, diposizioni o combinazioni.

Ciò premesso torniamo al problema e osserviamo che un numero naturale di quattro cifre si presenta nella forma:

n_1 n_2 n_3 n_4

dove

n_2,n_3,n_4 possono essere una qualsiasi delle cifre del sistema decimale, ossia un qualsiasi numero tra 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

n_1 è una qualsiasi cifra non nulla, ossia n_1 è un numero scelto tra 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Tra tutti questi, i numeri di nostro interesse sono solo quelli dispari. Un numero è dispari se la sua cifra delle unità è 1, 3, 5, 7 oppure 9, dunque n_4 può essere una tra queste cinque cifre.

n_4 \in \{1,3,5,7,9\}

Abbiamo un'ultima condizione da imporre, quella che il prodotto delle quattro cifre sia zero. Poiché n_1,n_4 sono non nulle, allora almeno una tra n_2,n_3 deve essere uguale a zero.

Le due cifre centrali del numero possono essere, allora:

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09 (in cui n_2=0)

oppure

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 (in cui n_3=0)

e - attenzione - non dobbiamo dimenticarci della coppia 00.

In definitiva un numero naturale dispari di 4 cifre e tale che il prodotto delle sue cifre sia nullo si presenta nella forma

n_1 n_2 n_3 n_4

con

\bullet \ n_1 che può variare in 9 modi diversi;

\bullet \ n_4 che può variare in 5 modi diversi;

\bullet \ n_2n_3 che può variare in 19 modi diversi.

Possiamo allora concludere che i numeri che soddisfano le condizioni della traccia del problema sono, in tutto:

9 \cdot 5 \cdot 19 = 855

È tutto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, bee89

Conteggio dei numeri il cui prodotto delle cifre vale zero #102623

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YM
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