Numero di funzioni suriettive tra due insiemi

Mi rivolgo nuovamente a voi per un esercizio di Calcolo Combinatorio sul numero di funzioni suriettive tra due insiemi finiti. È preso dagli esercizi sulle disposizioni (magari è un'informazione che può tornarvi utile).

Dati gli insiemi



quante sono le funzioni suriettive da in ?

Ci vengono assegnati due insiemi finiti



e dobbiamo calcolare quante sono le funzioni suriettive da in .

Anzitutto ricordiamo che una funzione da in



è una legge che associa a ogni elemento di uno ed un solo elemento di .

Poiché gli elementi di sono 6, possiamo identificare le funzioni da in come sestuple ordinate del tipo



dove ciascun , con , può assumere qualsiasi valore in , ossia può essere uguale a oppure a .

In altre parole ogni funzione è una sequenza di 6 elementi, in cui:

- ogni elemento può essere uguale a oppure a ;

- uno stesso elemento può ripetersi fino a 6 volte;

- due sequenze sono diverse se cambia almeno un elemento oppure se è diverso l'ordine con cui gli elementi si presentano.

Quanto scritto fin qui permette di asserire che le funzioni sono tante quante sono le disposizioni con ripetizione di classe 6 di 2 elementi distinti, ossia



Attenzione però! Noi dobbiamo calcolare il numero di funzioni suriettive, ossia di quelle funzioni in cui per ogni elemento esiste un elemento tale che .

Poiché l'insieme fornito dalla traccia del problema ha solo 2 elementi, le uniche funzioni non suriettive sono solo due:

- quella in cui tutti gli elementi di hanno come immagine



- Quella in cui tutti gli elementi di hanno come immagine



In tutti gli altri casi le funzioni da in sono suriettive, pertanto il numero di funzioni suriettive da in è pari a



dove 64 è il numero totale di funzioni e 2 sono quelle non suriettive.

È tutto!

Altri riferimenti utili:

- disposizioni

- disposizioni semplici

- disposizioni con ripetizione

- esercizi sulle disposizioni