Se e solo se

La mia domanda riguarda il significato del se e solo se. In classe c'è chi sostiene che se e solo se e equivale esprimono esattamente la stessa informazione.

Esempio analizzato:

A = un numero è divisibile per 2;

B = il numero termina per 0,2,4,6,8

scrivere A se e solo se B significa che le due frasi sono equivalenti ovvero possono essere o entrambe vere aut false.

Se B vera la A è vera, mentre se B è falsa A è falsa! Alcuni sostengono che tale definizione dice anche quando un numero non è divisibile per 2?

Altri invece dicono che se e solo se significa che A e B sono la stessa proposizione!

Ancora in una dimostrazione inserire l' equivalenza <=> (la doppia implicazione) significa che deve esistere una ragione logica che mi permetta di scorrerla da ambo le parti?

In alcune dimostrazioni vedo che l'insegnate la inserisce dicendo semplicemente equivale!

Potete aiutarmi a capire?

Grazie

Qui su YouMath c'è una lezione specifica che tratta le condizioni e in particolare le condizioni necessarie, le condizioni sufficienti e le condizioni necessarie e sufficienti. E' una guida farcita con diversi esempi, anche leggeri, che spiega come funzionano questi tipi di condizioni e che significato logico hanno.

Quella che interessa a te è la condizione necessaria e sufficiente. Dire

sono nomi diversi che esprimono lo stesso fatto. Sono tutti sinonimi di equivalenza logica.

Dire A se e solo se B, o scrivere , o ancora dire che A equivale a B significa dire che

o ancora

A implica B B implica A

Esempio

A = il numero è divisibile per 2.

B = il numero ha come ultima cifra 0 oppure 2 oppure 4 oppure 6 oppure 8

Benissimo. In questo caso possiamo asserire che perché se un numero è divisibile per 2, allora deve necessariamente terminare con 0 oppure 2 oppure 4 oppure 8.

Di contro, possiamo anche dire che , infatti se un numero termina per 0 oppure per 2 oppure per 4 oppure per 8, allora è certamente divisibile per 2.

In sintesi abbiamo la doppia implicazione: , cioè A se e solo se B, cioè la condizione A equivale alla condizione B.

Non solo e certamente. Le doppie implicazioni valgono sia come affermazioni che come negazioni. Prendiamo le negazioni di , vale a dire .

Da segue automaticamente . Infatti:

- se un numero non è divisibile per 2, allora non termina per 0 né per 2 né per 4 né per 8. Dunque ;

- se un numero non termina per 0 né per 2 né per 4 né per 8, allora non è divisibile per 2. Dunque

e in definitiva .

PS: nota come è scritta la negazione di . Non ci sono oppure, ci sono né.