Numero di sequenze alfanumeriche con 3 lettere e 2 cifre

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Numero di sequenze alfanumeriche con 3 lettere e 2 cifre #61357

avt
vinx91ct
Banned
Ciao a tutti emt vorrei la vostra supervisione per un problema di Calcolo Combinatorio sul numero di possibili sequenze alfanumeriche. Vado con il testo:

Siano dati i due insiemi L={a,b,c}(lettere) e C={1,2}(cifre). Quanti sono i codici alfanumerici composti da 5 simboli di X=L \cup C tali che ci siano 3 lettere e 2 cifre?

Solo una delle seguenti risposte è vera: 720, 240, 460, 1080, Nessuna delle altre risposte.

Ecco il mio ragionamento.

Innanzi tutto non ho capito dal testo se il codice alfanumerico deve essere composto necessariamente da 3 lettere prima e 2 cifre dopo (cioè perfettamente in questo ordine) o se in realtà non ci sia un ordine, ma siano tutti sparsi (prima una cifra, poi una lettera, una lettera, una cifra e una lettera, per esempio, ossia in ordine sparso). Io ho preso in considerazione questa seconda ipotesi.

Dopo questa premessa mi son detto: bene i numeri e le cifre possono ripetersi varie volte, cioè dire {a,b,c,1,2} è diverso da {b,a,c,1,2}. Quindi la ripetizione ha un senso in questo esercizio, pertanto scartiamo tutto quello che non richiede la ripetizione.

Ora devo fare una scelta solo tra permutazioni, disposizioni o combinazioni (tutte con ripetizione). La mia scelta è ricaduta sulle combinazioni con ripetizione perché le combinazioni con ripetizione C^{r}_n di n oggetti sono le coppie, terne, quaterne,...... k-uple non ordinate che posso formare considerando che ogni oggetto puo' essere considerato piu' volte.

Questa è la sua formula:

C^{r}_{n,k}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k!}=\binom{n+k-1}{k} \ con \ \ n,k \in \mathbb{N}

Io prendo in considerazione l'ultima uguaglianza e sfrutto il coefficiente binomiale. Abbiamo perciò che gli elementi sono n e nel nostro caso gli elementi a disposizione sono 5 (3 lettere e 2 cifre) e k sono i posti e noi abbiamo a disposizione in questo caso 5 posti. Perciò

C^{r}_{5,5}=\binom{5+5-1}{5}=\binom{9}{5}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}= 126

Può essere allora che la risposta sia "nessuna delle altre risposte"?
 
 

Numero di sequenze alfanumeriche con 3 lettere e 2 cifre #61499

avt
Galois
Coamministratore
Ciao vinx91ct emt

Dobbiamo risolvere il problema di calcolo combinatorio:

Siano dati i due insiemi L=\{a,b,c\} (lettere) e C=\{1,2\} (cifre). Quanti sono i codici alfanumerici composti da 5 simboli di X=L \cup C tali che ci siano 3 lettere e 2 cifre?

Innanzitutto non ho capito dal testo se il codice alfanumerico deve essere composto necessariamente da 3 lettere prima e 2 cifre dopo (cioè perfettamente in questo ordine) o se in realtà non ci sia un ordine, ma siano tutti sparsi (prima una cifra, poi una lettera, una lettera, una cifra e una lettera, per esempio, ossia in ordine sparso). Io ho preso in considerazione questa seconda ipotesi.


Hai fatto benissimo! Solitamente, se non viene specificato, meglio considerare il caso più generale possibile emt

Ora devo fare una scelta solo tra permutazioni, disposizioni o combinazioni (tutte con ripetizione).


Perfetto! Come ben dici, infatti, uno stesso elemento può essere ripetuto più volte e per l'esattezza nel codice alfanumerico di 5 elementi (di cui 3 lettere e 2 cifre) una lettera può essere ripetuta massimo 3 volte, una stessa cifra massimo due volte.

La mia scelta è ricaduta sulle combinazioni con ripetizione perché le combinazioni con ripetizione


Qua sbagli! Le combinazioni con ripetizione, infatti, non tengono conto dell'ordine!

Cioè se consideri le combinazioni con ripetizione considerare, ad esempio, la sequenza

(a,a,1,1,b) sarà la stessa cosa che considerare (b,1,a,1,a) proprio perché, appunto, le combinazioni in generale non tengono conto dell'ordine!

Poiché a noi l'ordine interessa in quanto, in questo caso, le sequenze che hanno gli stessi elementi ma differiscono solo per l'ordine vanno contate tutte, opteremo per le disposizioni con ripetizione.

Allora le tre lettere le posso scegliere in 3^3=27 modi, mentre le due cifre le posso scegliere in 2^2=4 modi. Ma non basta. Ora devo tener conto del fatto che lettere e cifre come abbiamo detto all'inizio possono "mescolarsi", o meglio, combinarsi tra loro.

Quindi ad esempio mi chiedo: i due posti per le cifre in quanti modi possono essere scelti tra 5 posti disponibili? In questo caso, visto che l'ho già fatto prima, non terrò conto nè dell'ordine nè della ripetizione. Andrò quindi sulle combinazioni semplici:

In \dbinom{5}{2}=10 (modi)

Osserva che mi sarei potuto chiedere:

i tre posti per le cifre in quanti modi possono essere scelti tra 5 posti disponibili?

In \dbinom{5}{3}=10 (modi)

(cioè avrei ottenuto sempre la stessa cosa)

Quindi, in definitiva, il numero delle mie sequenza sarà dato da:

10 \cdot 27 \cdot 4 = 1080

emt

Re: Numero di sequenze alfanumeriche con 3 lettere e 2 cifre #61596

avt
vinx91ct
Banned
Grazie della risposta. Tutto chiaro tranne alla fine (ultimo passaggio): perché hai applicato la moltiplicazione piuttosto che l'addizione? Come faccio a capire quando si applica l'una o l'altra?

Grazie comunque. emt
  • Pagina:
  • 1
Os