Problema di logica con calcolo combinatorio

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Problema di logica con calcolo combinatorio #61197

avt
vinx91ct
Banned
Ciao a tutti, non riesco a trovare la risposta corretta a un problema di Logica e calcolo combinatorio sul numero di elementi degli insiemi.

Sia dato un insieme di interpreti, di cui si sa che:\binom{6}{2}, parlano l' inglese,\binom{5}{3}, il francese e \binom{6}{2}, il tedesco. Inoltre,\binom{5}{2}, parlano sia inglese che francese,\binom{4}{2}, sia inglese che tedesco,\binom{3}{2} sia francese che tedesco.Un solo interprete parla tutte e tre le lingue.


Quanti sono gli interpreti? Le risposte al quesito possono essere: 31, 44, 76, 22, 16. Solo una di queste è vera!

Il mio ragionamento si ferma al semplice e puro calcolo dei coefficienti binomiali e cioè

\binom{6}{2}=\frac{6!}{4!\cdot 2!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)\cdot (2\cdot 1)}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot (2\cdot 1)}=\frac{30}{2}=15\rightarrow  INGLESE

\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(3\cdot 2\cdot 1)\cdot (2\cdot 1)}=\frac{5\cdot4\cdot 3!}{3!\cdot (2\cdot 1)}=\frac{20}{2}=10\rightarrow  FRANCESE

e con lo stesso procedimento

\binom{6}{2}=15 \rightarrow TEDESCO

\binom{5}{2}=10 \rightarrow ing+fra

\binom{4}{2}=6 \rightarrow ing+ted

\binom{3}{2}=3 \rightarrow fra+ted

1 \rightarrow ing+ fra+ted

Ora la somma di tutti è 60, ma non è tra le risposte. Immagino che occorre fare un altro ragionamento: quale? Ho provato a rappresentare tre insiemi: inglese, francese e tedesco come tre anelli che si incrociano (diagramma di Eulero-Venn), ma non riesco comunque a trovare la soluzione.

Grazie in anticipo. emt
 
 

Re: Problema di logica con calcolo combinatorio #61250

avt
Galois
Coamministratore
Ciao vinx91ct emt

Sei di fronte ad un classico esercizio di probabilità con gli insiemi (leggimi!)

Ti conviene quindi costruire un diagramma di Eulero Venn e "riempirlo" partendo, come indicato nella lezione del primo link, dagli elementi "più interni":

Hai correttamente calcolato i vari coefficienti binomiali

Iniziamo ora ad inserire i vari dati nel diagramma partendo dall'elemento più interno, ovvero dall'unica persona che parla tutte e tre le lingue. Mettiamo quindi 1 nell'intersezione tra tutti e tre gli insiemi (in blu)

Procediamo ora con le intersezioni tra le varie coppie di insiemi ricordandoci di togliere l'1 che è già comune e tutti e tre.

Avremo allora:

(I \cap F) - (I \cap F \cap T) = 10 - 1 = 9

(I \cap T)- (I \cap F \cap T) = 6 - 1 = 5

(F \cap T)- (I \cap F \cap T) = 3 - 1 = 2

Osserva che in questo modo

(I \cap F) = 10, \ (I \cap T) = 6, \ (T \cap F) = 3

(proprio come volevamo)

Riempiamo ora "la parte rimanente" degli insiemi I, F, T in modo che il totale sia rispettivamente 15, 10, 15

Nell'insieme I ci sono già 15 elementi: 9 (inglese e francese) + 1 (inglese, francese e tedesco) + 5 (inglese e tedesco) quindi siamo apposto

Nell'insieme T ci sono già 8 elementi: 2 (tedesco e francese) + 1 (inglese, francese e tedesco) + 5 (inglese e tedesco) quindi per arrivare a 15 ne mancano 7

Nell'insieme F ci sono già 12 elementi: 9 (inglese e francese) + 1 (inglese, francese e tedesco) + 2 (francese e tedesco). C'è un problema. F in tutto ne deve contenere 10 quindi ci sono 2 in più che dobbiamo poi sottrarre al totale.

La somma tra tutti i numeri nei vari insiemi è 24 (aiutati con l'immagine sotto). Togliendo i 2 in più abbiamo che il numero totale degli interpreti è 22 emt

esercizio probabilita con insiemi


Rileggi con calma ed aiutati con la lezione. E' difficile spiegare per iscritto, ma una volta capito il meccanismo è estremamente semplice emt
Ringraziano: Omega, vinx91ct

Re: Problema di logica con calcolo combinatorio #61271

avt
vinx91ct
Banned
Grazie, ero sulla strada giusta, ma sbagliavo sempre per una baggianata. Grazie davvero emt

Ho scritto l'insieme io stesso e questa è la sua rappresentazione con il grafico (o diagramma) di Eulero-Venn.

rappresentazione insiemi esercizio probabilita
Ringraziano: Galois
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Os