Problema di logica con calcolo combinatorio

Ciao a tutti, non riesco a trovare la risposta corretta a un problema di Logica e calcolo combinatorio sul numero di elementi degli insiemi.

Sia dato un insieme di interpreti, di cui si sa che:, parlano l' inglese,, il francese e , il tedesco. Inoltre,, parlano sia inglese che francese,, sia inglese che tedesco, sia francese che tedesco.Un solo interprete parla tutte e tre le lingue.


Quanti sono gli interpreti? Le risposte al quesito possono essere: 31, 44, 76, 22, 16. Solo una di queste è vera!

Il mio ragionamento si ferma al semplice e puro calcolo dei coefficienti binomiali e cioè





e con lo stesso procedimento











Ora la somma di tutti è 60, ma non è tra le risposte. Immagino che occorre fare un altro ragionamento: quale? Ho provato a rappresentare tre insiemi: inglese, francese e tedesco come tre anelli che si incrociano (diagramma di Eulero-Venn), ma non riesco comunque a trovare la soluzione.

Grazie in anticipo.

Ciao vinx91ct

Sei di fronte ad un classico esercizio di probabilità con gli insiemi (leggimi!)

Ti conviene quindi costruire un diagramma di Eulero Venn e "riempirlo" partendo, come indicato nella lezione del primo link, dagli elementi "più interni":

Hai correttamente calcolato i vari coefficienti binomiali

Iniziamo ora ad inserire i vari dati nel diagramma partendo dall'elemento più interno, ovvero dall'unica persona che parla tutte e tre le lingue. Mettiamo quindi 1 nell'intersezione tra tutti e tre gli insiemi (in blu)

Procediamo ora con le intersezioni tra le varie coppie di insiemi ricordandoci di togliere l'1 che è già comune e tutti e tre.

Avremo allora:







Osserva che in questo modo



(proprio come volevamo)

Riempiamo ora "la parte rimanente" degli insiemi I, F, T in modo che il totale sia rispettivamente 15, 10, 15

Nell'insieme I ci sono già 15 elementi: 9 (inglese e francese) + 1 (inglese, francese e tedesco) + 5 (inglese e tedesco) quindi siamo apposto

Nell'insieme T ci sono già 8 elementi: 2 (tedesco e francese) + 1 (inglese, francese e tedesco) + 5 (inglese e tedesco) quindi per arrivare a 15 ne mancano 7

Nell'insieme F ci sono già 12 elementi: 9 (inglese e francese) + 1 (inglese, francese e tedesco) + 2 (francese e tedesco). C'è un problema. F in tutto ne deve contenere 10 quindi ci sono 2 in più che dobbiamo poi sottrarre al totale.

La somma tra tutti i numeri nei vari insiemi è 24 (aiutati con l'immagine sotto). Togliendo i 2 in più abbiamo che il numero totale degli interpreti è 22



Rileggi con calma ed aiutati con la lezione. E' difficile spiegare per iscritto, ma una volta capito il meccanismo è estremamente semplice