Problema sulla probabilità di figli maschi o femmine

Mi scuso per il disturbo, ma ho un problema che non riesco a risolvere sul calcolo delle probabilità. Eccolo!

Calcola la probabilità che in una famiglia con 3 figli, supponendo equiprobabile la nascita di un maschio o di una femmina:

(a) siano tutti femmine;

(b) siano tutti maschi, sapendo che il primo è un maschio;

(c) siano tutti maschi, sapendo che almeno uno è maschio.

Ci viene chiesto di calcolare la probabilità che i 3 figli di una stessa famiglia siano:

(a) tutti femmine;

(b) tutti maschi, sapendo che il primogenito è maschio;

(c) tutti maschi, sapendo che almeno uno è maschio.

Indichiamo con una figlia femmina e con un figlio maschio, e scegliamo come spazio campionario l'insieme delle terne ordinate aventi come componenti il sesso del primo, del secondo e del terzo figlio rispettivamente:




(a) Probabilità che i tre figli siano femmine

Indichiamo con l'evento "i tre figli sono femmine".

Per calcolare usiamo la formula classica per la probabilità di un evento, ossia dividiamo il numero di casi favorevoli per il verificarsi di per il numero di casi possibili.



Possiamo farlo perché siamo in presenza di un esperimento equo e con un numero finito di risultati possibili.

Evidentemente l'unico caso favorevole per il verificarsi di è la terna , mentre i casi possibili sono i punti campionari di , che sono 8 in tutto. Di conseguenza




(b) Probabilità che siano tutti maschi, sapendo che il primogenito è maschio

Siano ora l'evento "i tre figli sono maschi" ed l'evento "il primogenito è maschio". Dobbiamo calcolare la probabilità condizionata , che indica la probabilità che si verifichi sapendo che si è già verificato .

Sulla base dell'evento condizionante i casi possibili non sono più 8, ma si riducono a 4, e sono le terne di che hanno come prima componente una , ossia



Tra essi c'è un unico caso favorevole per il verificarsi di , ed è la terna , per cui




(c) Probabilità che siano tutti maschi, sapendo che almeno uno è maschio

Continuiamo a indicare con l'evento "i tre figli sono maschi" e sia l'evento "almeno un figlio è maschio".

Dobbiamo calcolare .

Poiché sappiamo che almeno un figlio è maschio, i casi possibili per il verificarsi di sulla base dell'evento condizionante sono:



Tra questi, che sono 7 in tutto, c'è sempre un unico caso favorevole per il verificarsi di , dunque



Ricapitolando:

(a) la probabilità che i tre figli siano femmine è 1/8;

(b) la probabilità che i tre figli siano maschi, sapendo che il primo è maschio, è 1/4;

(c) la probabilità che i tre figli siano maschi, sapendo che almeno uno è maschio, è 1/7.

Fine!

Altri riferimenti utili:

- come risolvere i problemi di Probabilità

- problemi di riepilogo di Probabilità