Problema sulla probabilità di figli maschi o femmine

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Problema sulla probabilità di figli maschi o femmine #44183

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti. Mi scuso per il disturbo, ma ho un problema che non riesco a risolvere sul calcolo delle probabilità. Eccolo:

Calcola la probabilità che in una famiglia con 3 figli, supponendo equiprobabile la nascita di un maschio o di una femmina:

a)siano tutti femmine;
b)siano tutti maschi, sapendo che il primo è un maschio;
c)siano tutti maschi, sapendo che almeno uno è maschio.

I risultati sono 1/8, 1/4, 1/7.

Nell'attesa di una risposta vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Re: Problema sulla probabilità di figli maschi o femmine #44213

avt
Omega
Amministratore
Ciao Drago95 emt

Dato che la nascita di un figlio maschio o femmina sono eventi equiprobabili, sappiamo che le corrispondenti probabilità sono date da

\mathbb{P}(\{\mbox{maschio}\})=\frac{1}{2}

\mathbb{P}(\{\mbox{femmina}\})=\frac{1}{2}

Naturalmente il sesso del secondo figlio è indipendente da quello del primo, e quello del terzo è indipendente dai primi due. Abbiamo cioè a che fare con eventi indipendenti, per i quali vale una nota proprietà della probabilità: la probabilità dell'intersezione di eventi indipendenti è uguale al prodotto delle singole probabilità.

In particolare, tieni conto del fatto che la congiunzione logica "e" corrisponde in termini insiemistici all'intersezione. Morale della favola, possiamo riscrivere il primo evento "tre figlie femmine" come

\{\mbox{Tre femmine}\}=\{\mbox{Primo femmina}\}\cap\{\mbox{Secondo femmina}\}\cap \{\mbox{Terzo femmina}\}

Quindi

\mathbb{P}(\{\mbox{Tre femmine}\})=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}

---

Calcolare la probabilità dell'evento "tre figli maschi sapendo che il primo è un maschio" equivale a calcolare la probabilità di avere due figli maschi. Basta ragionare come in precedenza, con due figli al posto di tre: la probabilità dell'evento è evidentemente \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

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Il terzo evento sembra coincidere con il secondo, ma non è così: qui infatti sappiamo che almeno uno è un maschio, ma non sappiamo quale dei tre. Possiamo allora considerare tutte le terne possibili dei figli e restringere tale insieme al sottoinsieme in cui almeno uno dei tre figli è maschio:

MMM MMF MFF FMF FFM FMM MFM

Su 7 possibili terne ne abbiamo solamente una con tutti e tre i figli maschi, quindi la probabilità dell'evento è \frac{1}{7}.
Ringraziano: drago95
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Os