Problema sulla probabilità di figli maschi o femmine

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Problema sulla probabilità di figli maschi o femmine #44183

avt
drago95
Cerchio
Mi scuso per il disturbo, ma ho un problema che non riesco a risolvere sul calcolo delle probabilità. Eccolo!

Calcola la probabilità che in una famiglia con 3 figli, supponendo equiprobabile la nascita di un maschio o di una femmina:

(a) siano tutti femmine;

(b) siano tutti maschi, sapendo che il primo è un maschio;

(c) siano tutti maschi, sapendo che almeno uno è maschio.
 
 

Problema sulla probabilità di figli maschi o femmine #44213

avt
Galois
Amministratore
Ci viene chiesto di calcolare la probabilità che i 3 figli di una stessa famiglia siano:

(a) tutti femmine;

(b) tutti maschi, sapendo che il primogenito è maschio;

(c) tutti maschi, sapendo che almeno uno è maschio.

Indichiamo con F una figlia femmina e con M un figlio maschio, e scegliamo come spazio campionario l'insieme delle terne ordinate aventi come componenti il sesso del primo, del secondo e del terzo figlio rispettivamente:

Ω = (M,M,M), (M,M,F), (M,F,F), (M,F,M), ; (F,F,F), (F,F,M), (F,M,M), (F,M,F)


(a) Probabilità che i tre figli siano femmine

Indichiamo con E ⊆ Ω l'evento "i tre figli sono femmine".

Per calcolare P(E) usiamo la formula classica per la probabilità di un evento, ossia dividiamo il numero di casi favorevoli per il verificarsi di E per il numero di casi possibili.

P(E) = (# casi favorevoli)/(# casi possibili)

Possiamo farlo perché siamo in presenza di un esperimento equo e con un numero finito di risultati possibili.

Evidentemente l'unico caso favorevole per il verificarsi di E è la terna (F,F,F), mentre i casi possibili sono i punti campionari di Ω, che sono 8 in tutto. Di conseguenza

P(E) = (# casi favorevoli)/(# casi possibili) = (1)/(8)


(b) Probabilità che siano tutti maschi, sapendo che il primogenito è maschio

Siano ora E_1 l'evento "i tre figli sono maschi" ed E_2 l'evento "il primogenito è maschio". Dobbiamo calcolare la probabilità condizionata P(E_1|E_2), che indica la probabilità che si verifichi E_1 sapendo che si è già verificato E_2.

Sulla base dell'evento condizionante E_2 i casi possibili non sono più 8, ma si riducono a 4, e sono le terne di Ω che hanno come prima componente una M, ossia

(M,M,M), (M,F,F), (M,F,M), (M,M,F)

Tra essi c'è un unico caso favorevole per il verificarsi di E_1, ed è la terna (M,M,M), per cui

P(E_1|E_2) = (1)/(4)


(c) Probabilità che siano tutti maschi, sapendo che almeno uno è maschio

Continuiamo a indicare con E_1 l'evento "i tre figli sono maschi" e sia E_3 l'evento "almeno un figlio è maschio".

Dobbiamo calcolare P(E_1|E_3).

Poiché sappiamo che almeno un figlio è maschio, i casi possibili per il verificarsi di E_1 sulla base dell'evento condizionante E_3 sono:

 (M,M,M), (M,M,F), (M,F,M), (M,F,M) ; (F,F,M), (F,M,M), (F,M,F)

Tra questi, che sono 7 in tutto, c'è sempre un unico caso favorevole per il verificarsi di E_1, dunque

P(E_1|E_3) = (1)/(7)

Ricapitolando:

(a) la probabilità che i tre figli siano femmine è 1/8;

(b) la probabilità che i tre figli siano maschi, sapendo che il primo è maschio, è 1/4;

(c) la probabilità che i tre figli siano maschi, sapendo che almeno uno è maschio, è 1/7.

Fine!
Ringraziano: drago95

Problema sulla probabilità di figli maschi o femmine #102753

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YM
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