8 Oggetti da disporre in 6 scatole (calcolo combinatorio)

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

8 Oggetti da disporre in 6 scatole (calcolo combinatorio) #41921

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti! Ho un problema di calcolo combinatorio che non mi viene. Eccolo:

Calcola in quanti modi si possono sistemare 8 oggetti distinti in 6 scatole diverse sapendo che in ogni scatola deve esserci almeno un oggetto. [Soluzione: 191520]

Io ho provato a fare le disposizioni con ripetizione, però non viene...Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente.
 
 

8 Oggetti da disporre in 6 scatole (calcolo combinatorio) #41964

avt
Omega
Amministratore
Ciao Drago95 emt se non l'hai già fatto, ti consiglio di prendere come riferimento le lezioni di Calcolo Combinatorio

Dobbiamo sistemare 8 oggetti in 6 scatole, con la richiesta che in ciascuna scatola ci sia almeno un oggetto.

Immaginando che gli oggetti siano indistinguibili, posto n=8 e k=6 possiamo disporre nelle scatole un numero di elementi rispettivamente dati da (n_1,n_2,...,n_6) dove n_i indica il numero di oggetti nella scatola i-esima e n_1+...+n_6=n.

Scelta una sestupla (sequenza) (n_1,...,n_6), quante possibilità di scelta abbiamo (quante permutazioni abbiamo)? Dobbiamo considerare la formula per le permutazioni con ripetizione.

Per una fissata sestupla, numero di permutazioni: \frac{n!}{n_1!\cdot ...\cdot n_6!}

Ora dobbiamo contare le possibili sestuple, e ne abbiamo di due tipi:

- in una scatola 3 oggetti, nelle altre 1 solo;

- in due scatole 2 oggetti, nelle altre 1 solo;

e sono le uniche possibilità.

- sestupla: in una scatola 3 oggetti, nelle altre 1 solo -> numero di permutazioni

\frac{8!}{3!1!1!1!1!1!}=\frac{8!}{3!}.

-- quante sestuple ci sono con un 3 e cinque 1? -> Ce ne sono 6.

\frac{8!}{3!}\cdot 6.

- Sestupla: due 2 e quattro 1 -> abbiamo un numero di permutazioni pari a

\frac{8!}{2!2!1!1!1!1!}=\frac{8!}{2!2!}.

-- quante sestuple ci sono con due 2 e quattro 1? -> ce ne sono 15.

\frac{8!}{2!2!}\cdot 15.

In definitiva, possiamo sistemare gli oggetti in

\frac{8!}{3!}\cdot 6+\frac{8!}{2!2!}\cdot 15=191520.
Ringraziano: Pi Greco, drago95
  • Pagina:
  • 1
Os