8 Oggetti da disporre in 6 scatole (calcolo combinatorio)

Vi scrivo per un problema di Calcolo Combinatorio su cui sono fermo a ragionare da giorni. Ho provato e riprovato un sacco di strade, ma non riesco mai a ottenere il risultato proposto dal libro.

Calcola in quanti modi si possono sistemare 8 oggetti distinti in 6 scatole diverse sapendo che in ogni scatola deve esserci almeno un oggetto e che una di esse deve contenerne 3.

Abbiamo 8 oggetti distinti e 6 scatole diverse, e dobbiamo stabilire in quanti modi si possono sistemare gli oggetti nelle scatole sapendo che una scatola deve contenere 3 oggetti e che nelle altre deve esserci almeno uno.

Anzitutto stabiliamo in quanti modi si possono scegliere i 3 oggetti da disporre in una stessa scatola.

Ogni scelta è un raggruppamento di oggetti selezionati tra oggetti distinti.

Per capire di che tipo di raggruppamento si tratta serviamoci dello schema risolutivo dei problemi di Calcolo Combinatorio, ossia concentriamoci sui due aspetti che ci permetteranno di fare la scelta giusta: l'ordine degli oggetti e le possibili ripetizioni di un oggetto in uno stesso raggruppamento.

L'ordine con cui i 3 oggetti vengono scelti è irrilevante e uno stesso oggetto non può essere ripetuto, dunque optiamo per le combinazioni semplici.

Più esplicitamente il numero di modi di scegliere 3 oggetti (tra 8) da disporre nella stessa scatola equivale al numero di combinazioni semplici di classe 3 di 8 elementi.

Scriviamo la formula delle combinazioni semplici di classe di elementi distinti



Rimpiazziamo e , e svolgiamo i calcoli



pertanto abbiamo 56 modi di scegliere 3 oggetti da sistemare in una stessa scatola.

Ora, se dagli 8 oggetti sottraiamo i 3 che devono stare nella stessa scatola, rimangono da sistemare 5 oggetti in 5 scatole, e poiché ogni scatola deve contenere almeno un oggetto ci dovrà essere necessariamente un oggetto per scatola.

Pensiamo allora ciascuno dei 56 raggruppamenti di 3 oggetti come fosse un unico oggetto.

Il problema si riduce a calcolare in quanti modi si possono disporre 6 oggetti distinti in 6 scatole diverse, e a moltiplicare il risultato per 56.

Le sistemazioni di 6 oggetti distinti in 6 scatole diverse sono tante quante sono le permutazioni semplici di 6 elementi distinti



dunque il numero totale di sistemazioni è dato da



È tutto!

Altri riferimenti utili:

- permutazioni

- disposizioni

- combinazioni

- esercizi di riepilogo di calcolo combinatorio