Espressione con coefficienti binomiali

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Espressione con coefficienti binomiali #40859

avt
otrebor6
Cerchio
Dovrei risolvere un'espressione con coefficienti binomiali in cui compaiono due addizioni, una moltiplicazione e una sottrazione. Ho provato ad esplicitare i vari coefficienti binomiali, ma ottengo numeri molto grandi e non so come proseguire.

Risolvere l'espressione con coefficienti binomiali

\dbinom{5}{3} + \dbinom{5}{7} \cdot \dbinom{6}{2} + \dbinom{7}{4} - \dbinom{8}{6}
 
 

Espressione con coefficienti binomiali #40868

avt
Galois
Amministratore
Per risolvere la seguente espressione con coefficienti binomiali

\dbinom{5}{3} + \dbinom{5}{7} \cdot \dbinom{6}{2} + \dbinom{7}{4} - \dbinom{8}{6}

è sufficiente calcolare i coefficienti binomiali che vi compaiono, così da ottenere una semplice espressione numerica.

A tal proposito ricordiamo come si calcola un coefficiente binomiale.

Siano n,k due numeri naturali.

- Se n<k, allora \dbinom{n}{k} è uguale a zero;

- se invece n \ge k, allora \dbinom{n}{k} è uguale al fattoriale di n diviso per il prodotto tra il fattoriale di k e il fattoriale di (n-k).

In una formula:

\dbinom{n}{k} =\begin{cases}0 &\mbox{ se } n,k \in \mathbb{N}, \ 0 \leq n < k \\ \\ \dfrac{n!}{k!(n-k)!} & \mbox{ se } n,k \in \mathbb{N}, \ 0 \leq k \leq n\end{cases}

Ciò premesso calcoliamo i cinque coefficienti binomiali dell'espressione da risolvere.

\bullet \ \dbinom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!}=

Il fattoriale di un numero naturale è pari al prodotto tra il numero considerato e i numeri interi positivi che lo precedono

=\frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} =

svolgiamo i prodotti e semplifichiamo

=\frac{120}{12} = 10

\bullet \ \dbinom{5}{7} = 0

perché 5 è minore di 7.

\bullet \ \dbinom{6}{2} = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!}=

come fatto in precedenza calcoliamo i singoli fattoriali e semplifichiamo

=\frac{720}{2 \cdot 24} = \frac{720}{48} = 15

Analogamente:

\bullet \ \dbinom{7}{4} = \frac{7!}{4! \cdot (7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!}= \\ \\ \\ = \frac{5040}{24 \cdot 6} = \frac{5040}{144} = 35

Passiamo infine all'ultimo coefficiente binomiale

\bullet \ \dbinom{8}{6} = \frac{8!}{6! \cdot (8-6)!} = \frac{8!}{6! \cdot 2!}=

questa volta anziché calcolare 8! scriviamolo sotto forma di prodotto in cui compare 6!

=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 2} =

semplifichiamo il 6! a numeratore con quello del denominatore e svolgiamo i semplici calcoli che restano

=\frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28

Ci siamo quasi! Sostituiamo i valori ottenuti nell'espressione inziale

\\ \dbinom{5}{3} + \dbinom{5}{7} \cdot \dbinom{6}{2} + \dbinom{7}{4} - \dbinom{8}{6} = \\ \\ \\ = 10+0 \cdot 15 +35-28=

ed eseguiamo i calcoli rispettando l'ordine delle operazioni

=10+0+35-28 = 17

Abbiamo finito!
Ringraziano: kameor

Espressione con coefficienti binomiali #102542

avt
YM
Bot
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Os