Calcolo della probabilità nel lancio di dadi

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#35754
avt
littlerabb94
Punto
Tra i vari problemi sul calcolo della probabilità di un evento proposti dal mio libro ce n'è uno che non sto proprio riuscendo a risolvere. Qualcuno, per favore, potrebbe darmi una mano?

Quali tra i seguenti eventi ha probabilità maggiore?

(a) In un lancio di due dadi la somma delle facce è 8;

(b) In tre lanci di uno stesso dado il 5 esce soltanto una volta.

Tutti i dadi sono a sei facce, identici e non truccati.
#35757
avt
Galois
Amministratore
Per risolvere il problema dobbiamo stabilire quali tra i seguenti eventi ha probabilità maggiore:

(a) in un lancio di due dadi la somma delle facce è 8;

(b) in tre lanci di uno stesso dado il 5 esce soltanto una volta.

Calcoliamo le due probabilità separatamente e, successivamente, confrontiamo i risultati.


(a) Probabilità di ottenere come somma 8 nel lancio di due dadi

Consideriamo l'esperimento casuale che consiste nel lanciare due dadi a sei facce non truccati e con le facce numerate da 1 a 6.

Come spazio campionario per l'esperimento consideriamo l'insieme delle coppie ordinate aventi come componenti i possibili risultati dei lanci dei due dadi

 Ω = (i,j) | i,j = 1,2,3,4,5,6 = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), ; (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), ; (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), ; (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), ; (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), ; (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

Denotiamo con E l'evento "la somma delle facce è uguale a 8" ed elenchiamo i suoi punti campionari.

E è il sottoinsieme di Ω che ha per elementi le coppie ordinate la cui somma delle componenti è 8, dunque

E = (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)

Per calcolare P(E) usiamo la formula classica per la probabilità di un evento, ossia dividiamo il numero di casi favorevoli per il numero di casi possibili. Possiamo farlo perché, essendo i dadi non truccati, siamo in presenza di un esperimento equo.

Il numero di casi possibili corrisponde alla cardinalità dell'insieme Ω, mentre il numero di casi favorevoli è pari alla cardinalità dell'insieme E, per cui

P(E) = (# casi favorevoli)/(# casi possibili) = (|E|)/(|Ω|) = (5)/(36) = 0,138


(b) Probabilità di ottenere 5 una sola volta in tre lanci di uno stesso dado

Supponiamo ora che uno stesso dado a sei facce e non truccato venga lanciato tre volte consecutive.

I risultati possibili dell'esperimento sono terne ordinate aventi come componenti i risultati del primo, del secondo e del terzo lancio, dunque come spazio campionario per questo esperimento casuale prendiamo l'insieme

Ω_1 = (i,j,k) | i,j,k = 1,2,3,4,5,6

Indichiamo poi con F l'evento "il numero 5 esce una sola volta".

Questa volta elencare gli elementi dello spazio campionario e quelli dell'evento F diventa un'impresa assai ardua, ma non disperiamo.

Per calcolare la probabilità di F come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili ci basta calcolare il numero di elementi di Ω_1 e il numero di elementi di F con le formule di Calcolo Combinatorio.

I punti campionari di Ω_1 sono sequenze ordinate di tre elementi formate a partire da sei elementi distinti (i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6) e in cui uno stesso elemento può ripetersi fino a 3 volte.

In altre parole gli elementi di Ω_1 sono disposizioni con ripetizione di classe k = 3 di n = 6 elementi distinti.

Il numero di disposizioni con ripetizione di classe k di n elementi distinti si indica con D'_(n,k) ed è uguale alla potenza k-esima di n

D'_(n,k) = n^k

Sostituendo n = 6 e k = 3 otteniamo che i punti campionari di Ω sono 216 in tutto

|Ω_1| = D'_(6,3) = 6^3 = 216

Per calcolare il numero di punti campionari di F ragioniamo come segue.

Poiché il 5 può presentarsi una sola volta, i punti campionari di F sono le terne ordinate che si presentano in una delle seguenti forme:

 (5,j,k) con j,k = 1,2,3,4,6 ; (i,5,k) con i,k = 1,2,3,4,6 ; (i,j,5) con i,j = 1,2,3,4,6

Le terzine del tipo

(5,j,k) con j,k = 1,2,3,4,6

sono tante quante sono le disposizioni con ripetizione di classe due di cinque elementi distinti (i numeri 1, 2, 3, 4, 6).

Il numero di queste disposizioni è

D'_(5,2) = 5^2 = 25

dunque vi sono 25 terzine della forma

(5,j,k) con j,k = 1,2,3,4,6

Ragionando allo stesso modo si ricava che vi sono anche 25 terzine della forma

(i,5,k) con i,k = 1,2,3,4,6

e altre 25 terzine della forma

(i,j,5) con i,j = 1,2,3,4,6

dunque i punti campionari di F sono 75 in tutto

|F| = 75

Abbiamo ora tutto quello che serve per calcolare P(F)

P(F) = (# casi favorevoli)/(# casi possibili) = (|F|)/(|Ω_1|) = (75)/(216) = 0,3472


Evento con probabilità maggiore

Evidentemente 0,3472 è maggiore di 0,138, dunque tra i due eventi E,F quello con probabilità maggiore è F.

Fine!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
#102685
avt
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