Calcolo della probabilità nel lancio di dadi

Tra i vari problemi sul calcolo della probabilità di un evento proposti dal mio libro ce n'è uno che non sto proprio riuscendo a risolvere. Qualcuno, per favore, potrebbe darmi una mano?

Quali tra i seguenti eventi ha probabilità maggiore?

(a) In un lancio di due dadi la somma delle facce è 8;

(b) In tre lanci di uno stesso dado il 5 esce soltanto una volta.

Tutti i dadi sono a sei facce, identici e non truccati.

Per risolvere il problema dobbiamo stabilire quali tra i seguenti eventi ha probabilità maggiore:

(a) in un lancio di due dadi la somma delle facce è 8;

(b) in tre lanci di uno stesso dado il 5 esce soltanto una volta.

Calcoliamo le due probabilità separatamente e, successivamente, confrontiamo i risultati.


(a) Probabilità di ottenere come somma 8 nel lancio di due dadi

Consideriamo l'esperimento casuale che consiste nel lanciare due dadi a sei facce non truccati e con le facce numerate da 1 a 6.

Come spazio campionario per l'esperimento consideriamo l'insieme delle coppie ordinate aventi come componenti i possibili risultati dei lanci dei due dadi



Denotiamo con l'evento "la somma delle facce è uguale a 8" ed elenchiamo i suoi punti campionari.

è il sottoinsieme di che ha per elementi le coppie ordinate la cui somma delle componenti è 8, dunque



Per calcolare usiamo la formula classica per la probabilità di un evento, ossia dividiamo il numero di casi favorevoli per il numero di casi possibili. Possiamo farlo perché, essendo i dadi non truccati, siamo in presenza di un esperimento equo.

Il numero di casi possibili corrisponde alla cardinalità dell'insieme , mentre il numero di casi favorevoli è pari alla cardinalità dell'insieme , per cui




(b) Probabilità di ottenere 5 una sola volta in tre lanci di uno stesso dado

Supponiamo ora che uno stesso dado a sei facce e non truccato venga lanciato tre volte consecutive.

I risultati possibili dell'esperimento sono terne ordinate aventi come componenti i risultati del primo, del secondo e del terzo lancio, dunque come spazio campionario per questo esperimento casuale prendiamo l'insieme



Indichiamo poi con l'evento "il numero 5 esce una sola volta".

Questa volta elencare gli elementi dello spazio campionario e quelli dell'evento diventa un'impresa assai ardua, ma non disperiamo.

Per calcolare la probabilità di come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili ci basta calcolare il numero di elementi di e il numero di elementi di con le formule di Calcolo Combinatorio.

I punti campionari di sono sequenze ordinate di tre elementi formate a partire da sei elementi distinti (i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6) e in cui uno stesso elemento può ripetersi fino a 3 volte.

In altre parole gli elementi di sono disposizioni con ripetizione di classe di elementi distinti.

Il numero di disposizioni con ripetizione di classe di elementi distinti si indica con ed è uguale alla potenza -esima di



Sostituendo e otteniamo che i punti campionari di sono 216 in tutto



Per calcolare il numero di punti campionari di ragioniamo come segue.

Poiché il 5 può presentarsi una sola volta, i punti campionari di sono le terne ordinate che si presentano in una delle seguenti forme:



Le terzine del tipo



sono tante quante sono le disposizioni con ripetizione di classe due di cinque elementi distinti (i numeri 1, 2, 3, 4, 6).

Il numero di queste disposizioni è



dunque vi sono 25 terzine della forma



Ragionando allo stesso modo si ricava che vi sono anche 25 terzine della forma



e altre 25 terzine della forma



dunque i punti campionari di sono 75 in tutto



Abbiamo ora tutto quello che serve per calcolare




Evento con probabilità maggiore

Evidentemente è maggiore di , dunque tra i due eventi quello con probabilità maggiore è .

Fine!

Lezioni e schede correlate:

- probabilità di un evento

- esercizi sul calcolo della probabilità degli eventi