Problema sulle permutazioni semplici

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Problema sulle permutazioni semplici #32801

avt
spooky
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un problema sulle permutazioni semplici. Oltre al risultato vorrei che mi spiegaste il ragionamento da seguire.

Quanti sono i numeri di dieci cifre tutte diverse tra loro e tali da avere le prime cinque cifre dispari?
 
 

Problema sulle permutazioni semplici #32805

avt
Ifrit
Amministratore
Le dieci cifre del sistema numerico decimale sono 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, di cui cinque dispari (1, 3, 5, 7, 9) e cinque pari (0, 2, 4, 6, 8).

Per calcolare quanti sono i numeri di dieci cifre tutte diverse tra loro e tali da avere le prime cinque cifre dispari, trattiamo separatamente le cinque cifre iniziali e le cinque cifre finali, per poi combinare opportunamente i risultati ottenuti.


Cifre iniziali

Le cifre iniziali devono essere dispari e tutte diverse tra loro, dunque ogni sequenza delle prime cinque cifre è una sequenza che contiene tutti e soli gli elementi 1, 3, 5, 7, 9.

Inoltre una sequenza si distingue da un'altra solo se cambia l'ordine con cui gli elementi si presentano.

Da ciò deduciamo che ogni sequenza delle prime cinque cifre è una permutazione semplice dei cinque elementi 1, 3, 5, 7, 9.

In generale il numero di permutazioni semplici di n elementi distinti è uguale al fattoriale di n

P_n=n!

dunque le sequenze che si possono formare con le cinque cifre dispari 1, 3, 5, 7, 9 e tali da avere tutte le cifre diverse tra loro sono

P_5=5!=120


Cifre finali

Manca da conteggiare il numero di modi con cui si possono sistemare le ultime cinque cifre. Anzitutto osserviamo che esse sono cifre pari, perché le dieci cifre totali sono tutte diverse tra loro.

Ragionando allo stesso modo otteniamo che ogni sequenza delle ultime cinque cifre è una permutazione semplice degli elementi 0, 2, 4, 6, 8, dunque anch'esse sono

P_5=5!=120


Conclusione

Per calcolare il numero totale di numeri di dieci cifre tutte diverse tra loro e tali da avere le prime cinque cifre dispari, osserviamo che a ciascuna delle 120 sequenze di prime cinque cifre dispari si possono associare altrettante sequenze di cinque cifre pari, per un totale di

120 \cdot 120 = 14 \ 400

numeri possibili.

Alla prossima!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, spooky

Problema sulle permutazioni semplici #102571

avt
YM
Bot
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Os