Equazione con coefficiente binomiale

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Equazione con coefficiente binomiale #32457

avt
spooky
Punto
Potreste spiegarmi come si risolve un'equazione con i coefficienti binomiali? Ve ne propongo una su cui sto incontrando parecchie difficoltà. Dopo avere esplicitato i coefficienti binomiali, cosa si deve fare?

Determinare per quali valori di x ∈ N è soddisfatta la seguente equazione con coefficienti binomiali

binom(x)(4)+2binom(x)(2) = binom(x+1)(4)
 
 

Equazione con coefficiente binomiale #32468

avt
Galois
Amministratore
Dobbiamo calcolare i valori di x ∈ N che soddisfano l'equazione con coefficienti binomiali

binom(x)(4)+2binom(x)(2) = binom(x+1)(4)

Iniziamo dall'esplicitare i tre coefficienti binomiali. Dalla formula generale per il calcolo di un coefficiente binomiale è noto che

binom(n)(k) = 0 se n,k ∈ N, 0 ≤ n < k ; (n!)/(k!(n-k)!) se n,k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n

pertanto, per ogni x ∈ N:

binom(x)(4) = 0 se 0 ≤ x < 4 ; (x!)/(4!(x-4)!) se 0 ≤ 4 ≤ x

ossia

binom(x)(4) = 0 se 0 ≤ x < 4 ; (x!)/(24(x-4)!) se x ≥ 4

Analogamente

binom(x)(2) = 0 se 0 ≤ x < 2 ; (x!)/(2(x-2)!) se x ≥ 2

e, infine

binom(x+1)(4) = 0 se 0 ≤ x+1 < 4 ; ((x+1)!)/(4!(x+1-4)!) se 0 ≤ 4 ≤ x+1

che dopo qualche semplice calcolo riscriviamo come

binom(x+1)(4) = 0 se 0 ≤ x < 3 ; ((x+1)!)/(24(x-3)!) se x ≥ 3

Alla luce di queste formule, per risolvere l'equazione con coefficienti binomiali trattiamo separatamente i casi

x = 0 ; x = 1 ; x = 2 ; x = 3 ; x ≥ 4


Studio del caso x = 0

Per x = 0, abbiamo:

binom(x)(4) = binom(0)(4) = 0 ; binom(x)(2) = binom(0)(2) = 0 ; binom(x+1)(4) = binom(1)(4) = 0

Se sostituiamo nell'equazione da risolvere otteniamo un'uguaglianza vera

0+2·0 = 0

per cui x = 0 è una soluzione.


Studio del caso x = 1

Se x = 1, allora:

binom(x)(4) = binom(1)(4) = 0 ; binom(x)(2) = binom(1)(2) = 0 ; binom(x+1)(4) = binom(2)(4) = 0

Sostituendo nell'equazione ricaviamo un'uguaglianza vera, per cui x = 1 è un'altra soluzione.


Studio del caso x = 2

Per x = 2 i coefficienti binomiali diventano

binom(x)(4) = binom(2)(4) = 0 ; binom(x)(2) = binom(2)(2) = 1 ; binom(x+1)(4) = binom(3)(4) = 0

Dalla sostituzione nell'equazione si ricava

0+2·1 = 0

che non è un'uguaglianza vera, per cui x = 2 non è soluzione.


Studio del caso x = 3

Quando x = 3:

binom(x)(4) = binom(3)(4) = 0 ; binom(x)(2) = binom(3)(2) = 3 ; binom(x+1)(4) = binom(4)(4) = 1

Sostituendo nell'equazione abbiamo

0+2·3 = 1

di conseguenza x = 3 non è soluzione.


Studio del caso x ≥ 4

Per analizzare il caso x ≥ 4 conviene riscrivere l'equazione da risolvere

binom(x)(4)+2binom(x)(2) = binom(x+1)(4)

e rimpiazzare i coefficienti binomiali con i relativi sviluppi

(x!)/(24(x-4)!)+2·(x!)/(2(x-2)!) = ((x+1)!)/(24(x-3)!)

Dalla definizione ricorsiva di fattoriale seguono le identità

(x-2)! = (x-2)(x-3)(x-4)! ; (x-3)! = (x-3)(x-4)!

Sostituiamo nell'equazione e approfittiamone per semplificare il fattore moltiplicativo 2 del secondo termine con il 2 presente a denominatore

(x!)/(24(x-4)!)+(x!)/((x-2)(x-3)(x-4)!) = ((x+1)!)/(24(x-3)(x-4)!)

Portiamo tutto a primo membro

(x!)/(24(x-4)!)+(x!)/((x-2)(x-3)(x-4)!)-((x+1)!)/(24(x-3)(x-4)!) = 0

e riduciamola in forma normale calcolando il denominatore comune e svolgendo i relativi calcoli

(x!(x-2)(x-3)+24x!-(x-2)(x+1)!)/(24(x-2)(x-3)(x-4)!) = 0

Siamo nel caso x ≥ 4, dunque possiamo disfarci tranquillamente del denominatore

x!(x-2)(x-3)+24x!-(x-2)(x+1)! = 0

Sostituiamo (x+1)! = (x+1)x!

x!(x-2)(x-3)+24x!-(x-2)(x+1)x! = 0

Raccogliamo il fattore comune x!

x![(x-2)(x-3)+24-(x-2)(x+1)] = 0

e dividiamo ambo i membri per x!, che è una quantità sicuramente maggiore di zero

(x-2)(x-3)+24-(x-2)(x+1) = 0

Dopo qualche semplicissimo passaggio algebrico otteniamo un'equazione di primo grado

-4x+32 = 0

che ha come soluzione

x = 8


Conclusioni finali

Abbiamo praticamente finito. Dall'analisi dei vari casi è emerso che le soluzioni dell'equazione con coefficienti binomiali sono:

x_1 = 0 ; x_2 = 1 ; x_3 = 8

Alla prossima!
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Equazione con coefficiente binomiale #102547

avt
YM
Bot
Spunti e riferimenti utili:

- coefficiente binomiale

- esercizi sul coefficiente binomiale

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