Estrazione di due carte da un mazzo di 52 carte

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Estrazione di due carte da un mazzo di 52 carte #20950

avt
Fede180910
Punto
Mi aiutereste a risolvere questo problema di probabilità condizionata sull'estrazione di due carte da un mazzo di 52?

Si estraggono a caso due carte da un mazzo ordinario di 52 carte. Calcolare la probabilità che entrambe le carte siano assi sapendo che una delle due è l'asso di picche.
 
 

Estrazione di due carte da un mazzo di 52 carte #20990

avt
Galois
Amministratore
Da una mazzo ordinario di 52 si estraggono 2 carte a caso. Dobbiamo calcolare la probabilità che entrambe le carte siano assi sapendo che una delle due è l'asso di picche.

Come spazio campionario per l'esperimento che consiste nell'estrazione di 2 carte consideriamo l'insieme Ω di tutte le coppie che si possono formare con le 52 carte del mazzo.

Chiamiamo E l'evento "si estraggono due assi" e F l'evento "una delle carte è l'asso di picche".

La probabilità cercata è P(E|F) ossia la probabilità che si verifichi l'evento E nell'ipotesi che si sia verificato F.

Per calcolarla usiamo la formula della probabilità condizionata:

P(E|F) = (P(E ∩ F))/(P(F))

L'estrazione di 2 carte a caso da un mazzo ordinario di 52 carte è un esperimento equo e i risultati possibili sono in numero finito, dunque per determinare P(E ∩ F) e P(F) serviamoci della formula classica per la probabilità di un evento, ossia dividiamo il numero di casi favorevoli di ciascun evento per il numero di casi possibili.

 P(F) = (# casi favorevoli per F)/(# casi possibili) ; P(E ∩ F) = (# casi favorevoli per E ∩ F)/(# casi possibili)


Numero di casi possibili

I casi possibili sono i punti campionari di Ω, ossia tutte le coppie che si possono formare con le 52 carte del mazzo.

Per calcolare quanti sono osserviamo che le due carte vengono estratte in blocco, che l'ordine di estrazione non ha importanza e che le due carte sono diverse tra loro.

Questo piccolo ragionamento permette di asserire che i casi possibili sono tanti quante sono le combinazioni semplici di classe k = 2 di n = 52 elementi distinti, ossia

# casi possibili = C_(52,2)

In generale il numero di combinazioni semplici di classe k di n elementi distinti, con n ≥ k, è uguale al coefficiente binomiale n su k, ossia è dato dal rapporto tra il fattoriale di n e il prodotto tra il fattoriale di k e il fattoriale di n-k

C_(n,k) = binom(n)(k) = (n!)/(k!(n-k)!)

Di conseguenza

# casi possibili = C_(52,2) = binom(52)(2) = (52!)/(2!(52-2)!) =

scriviamo 52! come prodotto tra 52, 51 e 50!, semplifichiamo e svolgiamo i calcoli rimasti

= (52·51·50!)/(2!·50!) = (52·51)/(2) = 1326

I casi possibili sono quindi 1326 in tutto.


Casi favorevoli per F e calcolo di P(F)

Calcoliamo ora il numero di casi favorevoli per F, ossia per l'evento "una delle carte è l'asso di picche".

Tra le 1326 coppie di carte possibili, quelle in cui una delle due è l'asso di picche sono 51 in tutto: una delle carte della coppia è infatti fissa ed è l'asso di picche; l'altra può essere una qualsiasi delle 51 carte rimaste.

Possiamo ora calcolare P(F) come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili

 P(F) = (# casi favorevoli per F)/(# casi possibili) = (51)/(1326) = (1)/(26)


Casi favorevoli per E ∩ F e calcolo di P(E ∩ F)

E ∩ F è l'evento intersezione "si estraggono due assi e una delle due carte è l'asso di picche".

I casi favorevoli per il verificarsi di E ∩ F sono solo 3, e sono le coppie di carte formate da due assi, di cui uno è l'asso di picche. Se vogliamo elencarli:

asso di picche - asso di cuori

asso di picche - asso di fiori

asso di picche - asso di quadri

Possiamo ora calcolare P(E ∩ F):

 P(E ∩ F) = (# casi favorevoli per E ∩ F)/(# casi possibili) = (3)/(1326) = (1)/(442)


Calcolo della probabilità condizionata

Abbiamo praticamente finito! Sostituiamo i risultati ottenuti nella formula della probabilità condizionata

P(E|F) = (P(E ∩ F))/(P(F)) = ((1)/(442))/((1)/(26)) = (1)/(17) ≃ 0,0588

e otteniamo che la probabilità di estrarre due assi sapendo che una dei due è l'asso di picche è pari a circa 0,0588, ossia è di circa il 5,88%.

È fatta!
Ringraziano: Pi Greco, Fede180910

Estrazione di due carte da un mazzo di 52 carte #102702

avt
YM
Bot
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